Clase 98 - Prueba

Clases 96 y 97 - sumas y restas con números enteros. 7 a 11

Comenzamos la clase retomando el ejercicio 7 de la página 26.

Si m y n son naturales y m + n = 6, el procedimiento que encontramos para dado un m encontrar un n era n = 6 - m.

Si m y n son enteros y m+ n = 6, el procedimiento que encontramos para dado un m encontrar n era n = -m + 6

Vimos también que en este caso podíamos también hacer 6 - m...

Por ejemplo

Si m = -4

Podemos hallar n encontrando el opuesto de -4 (4) y sumandole 6 (10) ó restar 6 -(-4) = 6 + 4

En los ejercicios 8 y 9 vimos como podíamos usar la recta numérica para pensar sumas y restas con enteros.

Terminamos la clase poniéndo en común los ejercicios 10 y 11

Clase 95 . Sumas y restas con números enteros. Para debatir. 7

Clase del viernes 27 de agosto

Para debatir. Conclusiones.

La suma de un un número entero y su opuesto es siempre cero. (Ver ejercicio 3)

¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo?

Les explique en el pizarrón un modo de resolverlo.

Pensamos en un ejemplo:

Si

- 5 + 5 = 0

para que al sumarle a -5 un número dé negativo habrá que sumarle un número menor que 5.

por ejemplo:

-5 + 4 = -1

o

Si

7 + (-7) = 0

entonces

para que dé negativo deberé sumarle un número menor que -7, por ejemplo:

7 + (-10) = -3.

La suma de dos enteros da número negativo cuando a un entero le sumamos un número menor que su opuesto

¿En qué condiciones la resta de dos enteros da un número negativo.

Partimos pensando quela resta de un número por sí mismo da cero.

POr ejemplo

7-7 = O ó (-8) - (-8) = -8 + 8 = 0

Si esto es así para que dé negativo deberemos restarle un número mayor que él mismo

7- 8 = -1 ó (-8) - (-6) = (-8) + 6 = -2.

La resta de dos enteros da cero cuando a un número entero le restamos un número mayor que él mismo.

7. Encontrá números naturales para n y para n, de manera que m + n = 6. ¿Cuántas respuestas es posible encontrar? ¿Y si fueran enteros?

Para el caso de ser números naturales, encontramos 5 sumas:

Si m= 1, entonces n = 5

Si m = 2, entonces n = 4

Si m = 3, entonces n = 3

Si m = 4, entonces n = 2

Si m = 4, entonces n = 1

Para encontrar n hacemos 6-m, es decir n = 6 - m

Para el caso de ser enteros, las posiblidades son infinitas

Si m = - 100, entonces n = 106

Si m = - 50, entonces n = 56

Si m = 3, entonces n = 3

Si m = 10, entonces n = -4

Héctor se dio cuenta de que en este caso n es igual al opuesto de m + 6, es decir

n= -m + 6

Clases 93 y 94. Sumas y restas números enteros. 5, 6 y "Para debatir"

Clase del lunes 23 de agosto.

Problema 5 (pág. 26)
María dice que resta dos números negativos y el resultado es 10. ¿Es posible esto? Si la respuesta es no, explicá por qué, y si es sí, proponé un ejemplo.

Restas entre negativos entre negativos que dan 10
(-20) - (-30) = 10

(-40) - (-50) = 10


(-70) - (-80) = 10

(-50) - (-60) = 10

(-90) - (-100) = 10

(-70) - (-80) = 10

Problema 6. Completá con el número que hay que restar en cada caso para obtener 0. Podés usar una recta numérica.

a. 8 - 8 = 0
b. -2 - (-2) = 0
c. 4 - 4 = 0
d. -7 - (-7) = 0

Para debatir

• ¿Será cierto que la suma de un número entero y su opuesto siempre es cero? Sí... lo vimos en el ejercicio 3.
• ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo?
• ¿En qué condiciones las resta de dos enteros da un número negativo?

Clase 92. Sumas y restas con números enteros. 4 b y 5

La clase del miércoles 18 de agosto trabajamos lo siguiente:

4.b. ¿Es posible encontrar un número entero que al sumarle 4 al resultado sea un número negativo?

Si a un número que negativo que está a una distancia mayor que 4 de 0 (es decir, que es menor que -4) le sumamos 4, nos va a dar negativo (menor que 0).

5. María dice que resta dos números negativos y el resultado es 10. ¿Es posible esto? Si la respuesta es no, explicá por qué, y sí es sí, proponé un ejemplo.

Lo que estuvimos trabajando con esto es qué significa restar un número negativo.

Para ayudarlos a explorar les pedí que inventaran restas entre números negativos y buscaran con la calculadora los resultados.

Por ejemplo

(-4) - (-6) = 2

(-10) - (-5) = -5

(-7) - (-5) = -2

Lo que descubrimos es que restar un número negativo es lo mismo que sumar su opuesto, cosa que podemos generalizar para todos los negativos.

Da el mismo resultado (-4) - (-6) que (-4) + 6

Pero también (-4) - 6 da lo mismo que (-4) + (-6).

Clase 91 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II - 9. Sumas y restas con números enteros 3 y 4a

Comenzamos la clase de hoy revissando el ejercicio 9 de la página 29

9. a. Encontrá todos los números que estén a distancia 8 de 24

9. b. Encontrá todos los números que estén a distancia 11 de 7.

9. c. Encontrá todos los números que estén a distancia 4 de -3.

Establecimos que para resolver este ejercicio había sumar y restar la distancia al número dado

9.a. 24 + 8 y 24 - 8. Era sencillo se trataba de números naturales con el resultado en naturales.

9. b. 7 + 11 y 7 - 11. En este caso como en la resta el minuendo era menor que el sustraendo el resultado es negativo.

Para pensar 7 - 11, pensamos que de 7 a 0 hay 7 y de los 11 hay que restar todavía 11-7, es decir 4, y el número que está a distancia 4 de 0 es - 4.

9. c. En este caso el número dado era -3.

-3 - 4 es un numero que está a 7 de cero, es decir -7

y -3 + 4 = 1

Luego volvimos a la página de sumas y restas

Revisamos el ejercicio 3 (página 26).

Eran sumas entre enteros que sumaban 0, donde había que completar uno de los sumandos. REgistramos en la carpeta:

- si a un negativo le sumas su opuesto da 0

- si a un positivo le sumas su opuesto da 0

por lo tanto , si a un entero le sumás su opuesto da o.

Luego trabajamos el ejercicio 4a.

¿Es posible encontrar un número natural que al sumarle 4 dé un número negativo?

Exploramos disintas sumas de la forma n+ 4 y todas nos daban naturales. ES que como ya sabíamos la suma entre naturales siempre da otro natural.

Quedo pendiente la pregunta 4 b:

¿Es posible encontrar un número entero que al sumarle 4 el resultado sea un número negativo?

clase 90 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II

El viernes 13 revisamos los ejercicios de la página 29: 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Clase 89 - Comparar y ordenar números enteros II - 10 . Sumar y restar con números enteros . 1 a 3

El miércoles 11 trabajamos con el último ejercicio de la página 25 (Comparar y ordenar números enteros II) y empezamos a trabajar sumas y restas de números enteros con los primeros ejercicios de la página 26 (1, 2 y 3)

Clase 88 - Comparar y ordenar números enteros II - 8 y 9

Ayer, 10 de agosto, trabajamos con los problemas 8 y 9 de la pág. 25.

8. ¿Cuál es la distancia entre -4 y 57? ¿Y entre -13 y 48? ¿Y entre -24 y 37?

Para hallar la distancia (la cantidad de unidades) que hay entre -4 y 57, pensamos la distancia entre -4 y 0 y entre 0 y 57, y las sumamos, es decir: 4 + 57 = 61

Lo mismo para pensar la distancia entre -13 y 48: -13 + 48 = 61

Y entre -24 y 37 : 24 + 37.

En los tres casos se trataba de la distancia entre un negativo y un natural y sumamos la distancia a 0 de los dos.

9. ¿Es posible encontrar más de un par de números enteros de manera que la distancia entre ellos sea 32? Explicá tu respuesta.
Establecimos que hay infinitas soluciones porque dado cualquier número si le sumamos 32 el resultado está a distancia 32 del número dado.

Clase 86 y 87 - Comparar y ordenar números enteros II - 3 a 7

Hoy seguimos trabajando comparación y orden de números enteros.

Respondimos los ejercicos 4 a 7 de las pág. 24 a 25.

Definimos distancia entre dos números y la noción de números opuestos.

Clase 85 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo de enteros 4 - Comparar y ordenar números enteros

(viernes 6 de agosto)
Ejercicio 4. (Página 29)
Ordená de menor a mayor los siguientes números: 9; -6; -9; 2; -19; 5; 0; -11.

Analizamos la siguiente propuesta:

1) separar los positivos de los negativos, y del cero.
Negativos: -6; -9; -19; -11
El cero: 0
Positivos: 9; 2; 5;

2) ordenar cada grupo
Negativos: -6; -9; -11; -19
Positivos: 2; 5; 9


Discutimso el orden de los negativos. Los positivos estaban bien ordenadas, es más chico el que está más cerca del cero, pero con los negativos es a la inversa; es más chico el que está más lejos del cero:

Negativos: -19; -11; -9; -6

El orden es entonces: -19; -11; -9; -6; 0; 2; 5; 9

Después tomamos los tres primeros ejercicios de la página 24:

Comparar y ordenar números enteros II.

El ejercicio 1 y 2 consistían en ubicar números en la recta, y nos dan la ubicación de tres números en el primer caso y en el otro de dos.

En el ejercicio 3, había que ubicar en la recta dónde había tres números indicados, el valor de tres puntos de la recta (a qué número correspondían).

Clase 84 -Para estudiar los primeros problemas del capítulo de enteros : 1 a 3

(miércoles 4 de agosto)

Revisamos tres de los cuatro ejercicios que tenían para hoy:

1. Un ascensor bajó desde el 9° piso hasta el 2° subsuelo. ¿Cuántos pisos descendió?

La mayoría pensó del 9° a PB hay 9 pisos, hasta el segundo subsuelo son dos más: total, 11.
Representado en números:
9 - 11 = -2

2.Julio César nació en el año-101 y murió en -44. Marco Antonio vivió entre -83 y -30. ¿Estuvieron vivos e los mismos años? Si la respuesta es sí, ¿en qué período? (Los números negativos se utilizan para indicar fechas anteriores al nacimiento de Cristo).

Representamos en una línea de tiempo o recta númerica las fechas mencionadas. Como la muerte de Julio César aparecia entre el nacimiento y la muerte de Marco Antonio, ambos compartieron el período que va de-83(nacimiento de Marco Antonio) hasta -44 (la muerte de Julio César).

3.En elaño 67 antes de Cristo los romanos se apoderaron de Creta.Treinta y seis años más tarde, Octavio derrotó a Marco Antonio y su esposa Cleopatra.¿En qué fecha ocurrió ese hecho?

Teníamos que calcular -67 + 36 =
Si desde -67 nos acercamos al 0 en 36. Si nos acercamos en 30 estaremosen-37 y 6 más:en-3.

Clase 83 - Comparar y ordenar números enteros I: 2 a 6

Viernes 16 de julio:

2. La temperatura mínima de ayer fue -5°C y la máxima, 11°C. ¿Hubo 8°C en algún momento del día? ¿Y -8°C? Explicá.

Hizo 8 °C porque 8 es menor que 11 y mayor que -5. Pero no hizo -8°C. porque -8 es menor que - 5 que fue la temperatura mínima.

3. El saldo de mi caja de ahorros era de $-128 y ahora es de $ -99. ¿Debo más que antes o menos?

-128 es menor que -99, pero debo menos porque con -128 debo 128 y con -99 debo 99 y 99 es menor que 128.

También puedo pensar que como -99 está más cerca de 0 que -128. Con -99 estoy más cerca de no deber nada.

4. a. Ordená de menor a mayor los siguientes números 7; -5; 12; -19; 0; -3; -7; 4.

b. Explicá como se hace para ordenar números positivos y negativos.

Primero: Cualquier negativo es menor que 0 y 0 es menor que cualquier positivo. Por lo tanto, cualquier negativo es menor que cualqueir positivo. Separamos entonces los negativos, los positivos y el 0

Negativos: -5; -19; -3; -7

Positivo: 7; 12, 4

Segundo: Para ordenar los negativos tengo que pensar que es menor el que está más lejos de 0

Entonces de menor a mayor quedan .-19, -7, -5; -3

Tercero para ordenar los positivos es menor el que está más cerca de 0.

Entonces de menor a mayor quedan: 4; 7; 12

Todos juntos es: -19, -7, -5; -3; 0; 4; 7; 12

5. Escribí el anterior y el siguiente de cada uno de estos números.

En los negativos tenemos que pensar que el anterior es el que está uno más lejos de 0 y en los positivos es el que está 1 más cerca.

Anterior		Siguiente
-40	-39	-38
-1	0	1
-1000	-999	-998
-201	-200	-199

6. Ubicá -3; 2; -4; 6 y -11 en la recta númerica.

En la recta estaban ubicados el -7, el 0, el 3 y el 5.

Para ubicar el -3, lo ubicamos a la misma distancia que 0 de 3 pero a la izquierda.

Para ubicar el 2, lo ubicamos a la derecha de 0 a la misma distancia que 3 y 5.

Para ubicar el -4, lo ubicamos a 3 de -7 a la derecha (igual distancia que -3 y 0 ó o y 3)

Para ubicar el 6 lo ubicamos a 1 de 5 a la derecha (igual distancia que -4 y -3)

Para ubicar el -11 lo ubicamos a 4 a la izquierda de -7 (igual distancia que -4 y o)

Tarea: Los cuatro primeros ejercicios de la página 29: "Para estudiar los primeros problemas del capítulo II"