Clases del viernes 12 y del lunes 15 (segunda hora)
7. ¿Cuáles son todos los valoes de m para que 3 x m + 9 sea un entero negativo?
Sabemos que un numero más su opuesto da 0, entonces
Si 3 x m + 9 diera 0, 3 x m sería igual a -9, pero como 3 x m + 9 tiene que ser menor que cero,
3 x m tiene que ser menor que -9. Y si 3 x m fuera igual a -9, m sería igual a -3, pero como es menor m tiene que ser menor que -3
m < -9 9. En cada caso, encuentren un número entero m para que valga la igualdad.
a. 8 + (2 x m - 6) = 10
Podemos ir reemplazano m por distintos números hasta hallar el resultado:
Si m = 2, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 2 - 6) = 8 + 4 -6 = 6
Si m = 3, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 3 - 6) = 8 + 6 -6 = 8
Si m = 4, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 4 - 6) = 8 + 8 -6 = 10
y así llegar al resultado
o podemos razonar lo siguiente:
Si 8 + (2 x m - 6) = 10, entonces 2 x m - 6 = 2 (Pensé cuál es el número que sumado a 8 da 10, cuál es la distancia entre 8 y 10, 10-8)
Si 2 x m - 6 = 2, entonces 2 x m = 8 (Pensé cuál es el número al que si le resto 6 me da 2, qué número está a distancia 6 de 2 hacia arriba, 2 + 6)
Si 2 x m = 8, entonces m = 4 (Pensé cuál es el número por el que tengo que multiplicar 2 para que me dé 8:2)
De igual manera pudimos pensar para los casos b y c
lunes, 15 de noviembre de 2010
miércoles, 10 de noviembre de 2010
Clases 129 a 136, Operaciones con números enteros, 1 a 5 Usar letras para analizar relaciones entre enteros II 1 a 5
Operaciones con números enteros
A través de los ejercicios 1 a 5 de la página 33 aprendimos lo siguiente:
Si en una suma algebraica (combinación de sumas y restas entre números enteros) un número negativo aperece sumándose se puede reemplazar por la resta de su opuesto.
Por ejemplo
4 + (-3) + 5 = 4 - 3 + 5
Si en una suma algebriaca un número negativo aparece restándose se puede reemplazar por la suma de su opuesta. Por ejemplo
5-(-8) + 1 = 5 + 8 + 1
En una multiplicación de muchos multiplicaciones realizamos las multiplicaciones como si no tuviéramos signos y después ponemos los signos asociando las multiplicaciones sabiendo que si los dos factores tienen el mismo signo el resultado es positivo y si dos factores tiene distinto signo el resultado es positivo.
Usar letras para analizar relaciones entre enteros II
1. Si 2 x m respresenta la multiplicación entre el 2 y un número entero cualquiera m, ¿cuánto deberá valer m para que el resultado sea mayor que 0? ¿Y para que sea menor que 0?
Antes de generalizar y validar generalizaciones exploramos la situación.
Probamos reemplazando m por números negativos y positivos.
2 x (-4) = -8
2 x 5 = 10
2 x (-7) = -14
2 x (45) = 90
Cuando reemplazamos por positivos el producto fue positivo y cuando reemplazamos por negativos, el producto fue positivo. Intentamos una explicación:
Se nos plantea que
2 x m > 0, por lo tanto tiene signo + el resultado, por lo tanto ambos factores tiene que tener el mismo signo, como 2 es positivo, m debe serlo también.
2. ¿Qué números enteros se le podrá asignar a la letra n. de manera que el resultado 3 x (-n) sea positivo?
En este caso explorando ocurrió lo contrario, cuando reemplazamos n por un negativo nos dio el resultado positivo y viceversa. Recordamos que la expresión (-n) significa "el opuesto de n".
3 x -(-8) = 3 x 24 = 72
3 x -9 = -27
Intentamos explicar.
3 x (-n) > 0, entonces (-n) > 0 porque tiene que tener el mismo signo que 3 porque el resultado es positivo.
Como (-n) > 0, su opuesto (n) <>a y b, de manera que a : b = -24
Lo primero que dijimos es que a y b tienen que tener distinto signo. a es el resultado de mulitplicar un número cualquiera b por -24.
Si b = 1, a = -24
Si b = 2, a = -48
Si b = 3, a = -72
...
y
Si b = -1, a = 24
Si b = -2, a = 48
Si b = -3, a = 72
...
4. Encontrá todos los valores posibles para los enteros a y b, de manera que a x b sea menor que 5, pero mayor que 0.
La primero que dijimos es que si 0 < a x b , a x b daría como resultado 1, 2, 3 ó 4.
Para a x b = 1:
a = 1; b = 1
a = -1; b = -1
Para a x b = 2:
a = 1; b = 2
a = -1; b = -2
a = 2; b = 1
a = -2; b = -1
Para a x b = 3:
a = 1; b = 3
a = -1; b = -3
a = 3; b = 1
a = -3; b = -1
Para a x b = 4:
a = 1; b = 4
a = -1; b = -4
a = 4; b = 1
a = -4; b = -1
a = 2; b = 2
a = -2; b = -2
5. Encontrá todos los valores posibles para los números enteros a y b, de manera que:
a. a x b > 4
b. a x b > 4
En ambos casos los resultados son infinitos porque hay infinitos números enteros tanto mayores como menores que 4.
A través de los ejercicios 1 a 5 de la página 33 aprendimos lo siguiente:
Si en una suma algebraica (combinación de sumas y restas entre números enteros) un número negativo aperece sumándose se puede reemplazar por la resta de su opuesto.
Por ejemplo
4 + (-3) + 5 = 4 - 3 + 5
Si en una suma algebriaca un número negativo aparece restándose se puede reemplazar por la suma de su opuesta. Por ejemplo
5-(-8) + 1 = 5 + 8 + 1
En una multiplicación de muchos multiplicaciones realizamos las multiplicaciones como si no tuviéramos signos y después ponemos los signos asociando las multiplicaciones sabiendo que si los dos factores tienen el mismo signo el resultado es positivo y si dos factores tiene distinto signo el resultado es positivo.
Usar letras para analizar relaciones entre enteros II
1. Si 2 x m respresenta la multiplicación entre el 2 y un número entero cualquiera m, ¿cuánto deberá valer m para que el resultado sea mayor que 0? ¿Y para que sea menor que 0?
Antes de generalizar y validar generalizaciones exploramos la situación.
Probamos reemplazando m por números negativos y positivos.
2 x (-4) = -8
2 x 5 = 10
2 x (-7) = -14
2 x (45) = 90
Cuando reemplazamos por positivos el producto fue positivo y cuando reemplazamos por negativos, el producto fue positivo. Intentamos una explicación:
Se nos plantea que
2 x m > 0, por lo tanto tiene signo + el resultado, por lo tanto ambos factores tiene que tener el mismo signo, como 2 es positivo, m debe serlo también.
2. ¿Qué números enteros se le podrá asignar a la letra n. de manera que el resultado 3 x (-n) sea positivo?
En este caso explorando ocurrió lo contrario, cuando reemplazamos n por un negativo nos dio el resultado positivo y viceversa. Recordamos que la expresión (-n) significa "el opuesto de n".
3 x -(-8) = 3 x 24 = 72
3 x -9 = -27
Intentamos explicar.
3 x (-n) > 0, entonces (-n) > 0 porque tiene que tener el mismo signo que 3 porque el resultado es positivo.
Como (-n) > 0, su opuesto (n) <>a y b, de manera que a : b = -24
Lo primero que dijimos es que a y b tienen que tener distinto signo. a es el resultado de mulitplicar un número cualquiera b por -24.
Si b = 1, a = -24
Si b = 2, a = -48
Si b = 3, a = -72
...
y
Si b = -1, a = 24
Si b = -2, a = 48
Si b = -3, a = 72
...
4. Encontrá todos los valores posibles para los enteros a y b, de manera que a x b sea menor que 5, pero mayor que 0.
La primero que dijimos es que si 0 < a x b , a x b daría como resultado 1, 2, 3 ó 4.
Para a x b = 1:
a = 1; b = 1
a = -1; b = -1
Para a x b = 2:
a = 1; b = 2
a = -1; b = -2
a = 2; b = 1
a = -2; b = -1
Para a x b = 3:
a = 1; b = 3
a = -1; b = -3
a = 3; b = 1
a = -3; b = -1
Para a x b = 4:
a = 1; b = 4
a = -1; b = -4
a = 4; b = 1
a = -4; b = -1
a = 2; b = 2
a = -2; b = -2
5. Encontrá todos los valores posibles para los números enteros a y b, de manera que:
a. a x b > 4
b. a x b > 4
En ambos casos los resultados son infinitos porque hay infinitos números enteros tanto mayores como menores que 4.
lunes, 1 de noviembre de 2010
Clases 126 a 128 - Repaso de operaciones con enteros (continuación)
Clases del 25 de octubre
Completamos la revisión de números enteros:
El conjunto de números enteros está formado por los números positivos (o naturales), el cero y los números negativos.
La distancia entre dos números es la cantidad de unidades que hay entre ellos. Se la puede calcular restandole al mayor el menor de ellos. Por ejemplo:
Si quiere calcular la distancia entre 45 y 98 puedo hacer 98 - 45 = 53
Si es la distancia entre -45 y -98, la calculo haciendo -45 - (-98).
Dos números son opuestos uno de otro si están a la misma distancia de cero (uno es positivo y el otro negativo).
Un nùmero es opuesto de otro si al sumarlos el resutlado es 0.
Un numero es opuesto de otro si es el resultado de multiplicarlo por (-1).
Sumar un positivo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + 5 = 4 - (- 5)
Sumar un negativo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + (-5) = 4 - 5
Restar un positivo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - 5 = 4 + (-5)
Restar un negativo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - (- 5) = 4 + 5
En los enteros se pueden realizar restar donde el minuendo es menor que el sustraendo.
La suma de dos enteros da negativa cuando se suma un positivo y un negativo y el negativo està más lejos del cero que el positivo, o bien cuando se suman dos negativos.
La resta de dos enteros da negativa cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de enteros da negativa cuando un factor es positivo y el otro negativo.
La divisiòn de enteros es negativa cuando o bien el dividendo y el divisor son de distinto signo.
La suma de dos enteros da positiva cuando se suman un positivo y un negativo y el negativo està más ce4ca del cero que el positivo o bien cuando se suman dos poisitovs.
La resta de dos enteros da positiva cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de dos enteros da positiva cuando los factores son de igual signo.
La división de enteros da positiva cuando divisor y dividendo son de igual signo.
Completamos la revisión de números enteros:
El conjunto de números enteros está formado por los números positivos (o naturales), el cero y los números negativos.
La distancia entre dos números es la cantidad de unidades que hay entre ellos. Se la puede calcular restandole al mayor el menor de ellos. Por ejemplo:
Si quiere calcular la distancia entre 45 y 98 puedo hacer 98 - 45 = 53
Si es la distancia entre -45 y -98, la calculo haciendo -45 - (-98).
Dos números son opuestos uno de otro si están a la misma distancia de cero (uno es positivo y el otro negativo).
Un nùmero es opuesto de otro si al sumarlos el resutlado es 0.
Un numero es opuesto de otro si es el resultado de multiplicarlo por (-1).
Sumar un positivo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + 5 = 4 - (- 5)
Sumar un negativo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + (-5) = 4 - 5
Restar un positivo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - 5 = 4 + (-5)
Restar un negativo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - (- 5) = 4 + 5
En los enteros se pueden realizar restar donde el minuendo es menor que el sustraendo.
La suma de dos enteros da negativa cuando se suma un positivo y un negativo y el negativo està más lejos del cero que el positivo, o bien cuando se suman dos negativos.
La resta de dos enteros da negativa cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de enteros da negativa cuando un factor es positivo y el otro negativo.
La divisiòn de enteros es negativa cuando o bien el dividendo y el divisor son de distinto signo.
La suma de dos enteros da positiva cuando se suman un positivo y un negativo y el negativo està más ce4ca del cero que el positivo o bien cuando se suman dos poisitovs.
La resta de dos enteros da positiva cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de dos enteros da positiva cuando los factores son de igual signo.
La división de enteros da positiva cuando divisor y dividendo son de igual signo.
viernes, 22 de octubre de 2010
Clase 125 Números enteros. Repaso.
Hoy hicimos un repaso de lo visto hasta el momento de números enteros:
1. ¿Qué números forman el conjunto de los números enteros?
2. ¿Qué se entiende por la distancia entre dos números?
3. ¿Con qué operación podemos calcular la distancia entre dos números?
4. Explicá qué es el opuesto de un número usando el concepto de distancia.
5. Explicá qué es el opuesto de un número mediante la suma de enteros.
6. Explicá cómo obtener el opuesto de un número usando multiplicación.
7. ¿Cómo se representan la suma y resta de enteros en la recta numérica?
8. ¿Cómo se puede transformar una suma y resta de negativos en una operación entre positivos?
9. Qué tipo de restas son posibles entre los enteros que no eran posibles entre los naturales?´
10. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
11. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número positivo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
1. ¿Qué números forman el conjunto de los números enteros?
2. ¿Qué se entiende por la distancia entre dos números?
3. ¿Con qué operación podemos calcular la distancia entre dos números?
4. Explicá qué es el opuesto de un número usando el concepto de distancia.
5. Explicá qué es el opuesto de un número mediante la suma de enteros.
6. Explicá cómo obtener el opuesto de un número usando multiplicación.
7. ¿Cómo se representan la suma y resta de enteros en la recta numérica?
8. ¿Cómo se puede transformar una suma y resta de negativos en una operación entre positivos?
9. Qué tipo de restas son posibles entre los enteros que no eran posibles entre los naturales?´
10. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
11. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número positivo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
124: Multiplicación y división de números enteros 5, "Para revisar lo realizado"
5. Encontrá números enteros a y b que verifiquen que a : b = 4 ¿Cuántos pares hay?
En este caso teníamos que buscar para los dividendos (los números a) números divisibles por 4 ó múltiplos de 4.
es decir a = b x 4
y para obtener b a partir de a tenemos que hacer a : 4
Por ejemplo: Si a = 20, entonces b = 20 : 4 = 5, d modo que 20 : 5 = 4
b puede ser cualquier entero, dado que para obtener a tiene que darse b x 4.
Por lo tanto los pares de números son infinitos:
...
Si b = -4 ent. a = -16
Si b = -3 ent. a = -12
Si b = -2 ent. a = -8
Si b = -1 ent. a = -4
Si b = 0 ent. a = 0
Si b = 1 ent. a = 4
Si b = 2 ent. a = 8
Si b = 3 ent. a = 12
...
Para revisar lo realizado
- Si se multiplica un número por (-1), se obtiene su opuesto (V)
a . (-1) = -a
Por ejemplo
si a = -4, etonces a. (-1) = 4
Si a = 8, entonces a. (-1) = -8
- El resultado de dividir dos números negativos es negativo (F)
Si divido
(-48) : (-6) tengo que buscar un número que multiplicado por (-6) sea negativo, tengo que multiplicarlo por un positivo, asi que el resultado de la división es positivo sí o sí.
- Si a y b son números de distinto signo, el cociente a : b = siempre va a dar como resultado un número menor que 0. (V)
Es verdadero porque
Si a es negativo y b es positivo, entonces el cociente tiene que ser un número de distinto signo del positivo, es decir negativo para que la multiplicaciòn de positivo por negativo dé negativo. (el cociente multiplicado por el divisor da el dividendo)
Si a es positivo y b es negativo, entonces el cociente tiene que ser un número del mismo signo del negativo, para que la multiplicaciòn de negtaivo por negativo dé positivo.
En ambos casos el cociente es negativo, es decir, menor que 0-
En este caso teníamos que buscar para los dividendos (los números a) números divisibles por 4 ó múltiplos de 4.
es decir a = b x 4
y para obtener b a partir de a tenemos que hacer a : 4
Por ejemplo: Si a = 20, entonces b = 20 : 4 = 5, d modo que 20 : 5 = 4
b puede ser cualquier entero, dado que para obtener a tiene que darse b x 4.
Por lo tanto los pares de números son infinitos:
...
Si b = -4 ent. a = -16
Si b = -3 ent. a = -12
Si b = -2 ent. a = -8
Si b = -1 ent. a = -4
Si b = 0 ent. a = 0
Si b = 1 ent. a = 4
Si b = 2 ent. a = 8
Si b = 3 ent. a = 12
...
Para revisar lo realizado
- Si se multiplica un número por (-1), se obtiene su opuesto (V)
a . (-1) = -a
Por ejemplo
si a = -4, etonces a. (-1) = 4
Si a = 8, entonces a. (-1) = -8
- El resultado de dividir dos números negativos es negativo (F)
Si divido
(-48) : (-6) tengo que buscar un número que multiplicado por (-6) sea negativo, tengo que multiplicarlo por un positivo, asi que el resultado de la división es positivo sí o sí.
- Si a y b son números de distinto signo, el cociente a : b = siempre va a dar como resultado un número menor que 0. (V)
Es verdadero porque
Si a es negativo y b es positivo, entonces el cociente tiene que ser un número de distinto signo del positivo, es decir negativo para que la multiplicaciòn de positivo por negativo dé negativo. (el cociente multiplicado por el divisor da el dividendo)
Si a es positivo y b es negativo, entonces el cociente tiene que ser un número del mismo signo del negativo, para que la multiplicaciòn de negtaivo por negativo dé positivo.
En ambos casos el cociente es negativo, es decir, menor que 0-
martes, 19 de octubre de 2010
122 y 123. Multiplicación y división de números enteros 1 a 4
Ejercicios 1 a 3
Trabajamos con tablas donde los números de la segunda fila se obtenían multiplicando a los números de la primera siempre por el mismo factor.
A los de la primera fila los llamamos A
A los de la segunda fila los llamamos B
Ejercicio 1
B = A x (-2)
Ejercicio 2
Tuvimos que descubrir cuál era el número que multiplicado por A da B. Hacerlo es lo mismo que dividir B por A, de modo tal que
B : A = -7, así que B = A x (-7)
Ejercicio 3
Utilizamos una tabla de valores dada donde A x 9 = B para resolver multiplicaciones y divisones entre enteros
para eso tuvimos que tener en cuenta que
Si A x B = C
entonces C : A = B y C : B = A
Trabajamos con tablas donde los números de la segunda fila se obtenían multiplicando a los números de la primera siempre por el mismo factor.
A los de la primera fila los llamamos A
A los de la segunda fila los llamamos B
Ejercicio 1
B = A x (-2)
Ejercicio 2
Tuvimos que descubrir cuál era el número que multiplicado por A da B. Hacerlo es lo mismo que dividir B por A, de modo tal que
B : A = -7, así que B = A x (-7)
Ejercicio 3
Utilizamos una tabla de valores dada donde A x 9 = B para resolver multiplicaciones y divisones entre enteros
para eso tuvimos que tener en cuenta que
Si A x B = C
entonces C : A = B y C : B = A
119, 120 y 121. Multiplicación de números enteros
El 13, el 15 y el 18 de octubre (segunda hora) trabajamos con multiplicación de número enteros.
Ejercicio 1.
Vimos que sumar tres veces un número negativo es equivalente a multiplicarlo por tres.
-4 + (-4) + (-4) = -4 -4 -4 = (-4) x 3 = -12
Ejercicio 2
Si le multiplicas a un número positivo otro y te da negativo, el número por el que estás multiplicando es negativo
Si 4 veces 3 es 12, 4 veces -3 es -12
4 x (-3) = -12
Ejericio 3
Si le multiplicas a un número negativo otro y te da negativo, el número por el que multiplicaste es positivo
(-3) x 6 = 18
Ejercicios 4 y 5
El producto entres dos números enteros es negativo si los dos números tienen signos opuestos
El producto entre dos enteros es positivo si son del mismo signo.
Ejercicio 6 y 7
Multiplicaciones entre naturales que dan 24
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Son éstas 4 y las que resultan de cambiar el orden de los factores.
6 x 4; 3 x 8 etc.
Son 8 en total
Multiplicaciones entre números enteros que dan 24.
Son las 8 que vimos entre los positivos, más las que resultan de transformar en negativos todos los factores de esas ocho, dado que para que de positivo el resultado ambos factores deben dar negativo.
-1 x (-24) = 24
- 2 x (-12) = 24
-3 x (-8) = 24 ...
En total, son 16
Multiplicaciones entre números enteros que dan -24. Son 16 también. Basta con cambiarle el signo a las anteriores 16 multiplicaciones, para que haya uno con signo positivo y otro con signo negativos
Ejercicio 1.
Vimos que sumar tres veces un número negativo es equivalente a multiplicarlo por tres.
-4 + (-4) + (-4) = -4 -4 -4 = (-4) x 3 = -12
Ejercicio 2
Si le multiplicas a un número positivo otro y te da negativo, el número por el que estás multiplicando es negativo
Si 4 veces 3 es 12, 4 veces -3 es -12
4 x (-3) = -12
Ejericio 3
Si le multiplicas a un número negativo otro y te da negativo, el número por el que multiplicaste es positivo
(-3) x 6 = 18
Ejercicios 4 y 5
El producto entres dos números enteros es negativo si los dos números tienen signos opuestos
El producto entre dos enteros es positivo si son del mismo signo.
Ejercicio 6 y 7
Multiplicaciones entre naturales que dan 24
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Son éstas 4 y las que resultan de cambiar el orden de los factores.
6 x 4; 3 x 8 etc.
Son 8 en total
Multiplicaciones entre números enteros que dan 24.
Son las 8 que vimos entre los positivos, más las que resultan de transformar en negativos todos los factores de esas ocho, dado que para que de positivo el resultado ambos factores deben dar negativo.
-1 x (-24) = 24
- 2 x (-12) = 24
-3 x (-8) = 24 ...
En total, son 16
Multiplicaciones entre números enteros que dan -24. Son 16 también. Basta con cambiarle el signo a las anteriores 16 multiplicaciones, para que haya uno con signo positivo y otro con signo negativos
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