Clase 72 - Cálculos y divisibilidad 11 - Números primos 6, 7 y 8

Continuamos con el ejercicio 11 (c y d) de la página 11
11.c
m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Estuvimos buscando ejemplos de números que cumplieran la condición.
Pasaba cuando a y b eran primos...
por ejemplo el mcm ( 3 ; 5) es 15
pero no unicamente.
Siempre que dos números no tienen divisores en común (lo reconocemos porque al factorizar no tienen factores primos en común), el mcm se calcula multiplicando uno por otro. En este caso decimos que los números son coprimos.

11. d
m.c.m. (a;b) = 5
5 es sólo múltiplo de 5 y de 1 por ser primo, por lo cual, a y b tienen solo pueden ser 1 ó 5 (pero uno de los dos si o si tiene que ser 5):
a = 1 b = 5
a = 5 b = 1
a = 5 b = 5

Luego continuamos cno los ejercicios 6 y 7 de la página 12 (números primos). El 8 va de tarea.

6. Elegí un número natural, elevalo al cuadrado, multiplicalo por 2 y al resultado sumale 29. ¿Será cierto que se obtiene un número primo?
Encontramos un montón de ejemplos en los cuales se daba que esto era si.
n x n x 2 + 29.
Establecimos que no podíamos saber si siempre ocurriría por que pasara en muchos casos.
De hecho, Jazmín encontró un contraejemplo. En el caso de que el número (n) fuera 29:
El cálculo sería:
29 x 29 x 2 + 29.
El primer término (29 x 29 x 2) es múltiplo de 29 si le sumo otro 29 sì o sí obtengo otro múltiplo de 29:
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)

7. Si se suman dos números primos, ¿se obtiene siempre otro número? ¿A veces? ¿Nunca?
A veces sí, a veces no:
5 + 7 = 12 (ahí no)
13 + 2 = 12 (ahí tampoco)
Pero:
2 + 3 = 5 (acá sí).

Para mañana pensamos el 8:
Si se multiplican dos números primos, ¿es posible obtener otro número primo?

Clase 71 - Para estudiar los primeros problemas del capìtulo de números naturales. 9. Cálculo y divisibilidad 11.a, b y c.

Corregimos:
Ejercicio 9 (pág. 13):
El número 46 es divisor de 322. ¿Será cierto que 46 es divisor de:
a. 644?
b. 966?
c. 161?
Decidí sin hacer la cuenta de dividir.

a. Cómo 644 es el doble de 322, es múltiplo de 322. Entonces 322 es divisor de 644
Y si 46 es divisor de 322
y 322 es divisor de 644,
entonces 46 es divisor de 644.
b. Es similar al anterior (966 es el triple de 322). Expliquémoslo de otra manera.
322 = 46 x n (n es algún número natural)
966 = 3 x 322, entoncse 966 = 3 x 46 x n , entonces 46 es divisor de 966
c. 161 es la mitad de 322 no sabemos si hay un número natural que multiplicado por 161 dé 322.
O bien:
SAbemos que no hay un número que multiplicado por 46 dé 161, porque 161 no es multiplo de 2 y 46 sí, Y sí 161 fuera múltiplo de 46, debería ser múltiplo también de sus divisores.

Retomamos luego el ejercicio 11 de la página 11.
11.a (repaso)
m.c.m. (a; b) = 1 , entonces a = b = 1 porque 1 es sólo múltiplo de sí mismo.
11.b (repaso)
m.c.m. (a; b) = a.
Vimos pares de números que hicieran que el mcm de los dos fuera el primero de ellos.
(10; 5) (25;5) (100; 10) (35; 7).
En todos los casos a es mayor o igual que b y a = n. b (siendo n un nùmero natural), es decir a es múltiplo de b.
11.c m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.

Clase 69 - Cálculos y divisibilidad - 10 + Para debatir y 11 a y b

En la clase de ayer retomamos lo visto la clase pasada.
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...

Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:

Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60

Sólo faltaba agregar:

9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)

Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.

11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a

De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.

a. m.c.m. (a; b) = 1

Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.

Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1

b. m.c. m. (a; b) = a

a es múltiplo de a
a es múltiplo de b

b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...

o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).

Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)

Clases 66 y 67 - Cálculos y divisibilidad- 10 b + Para debatir

En la quinta hora trabajamos sobre el ejercicio 10b de la pág. 11 y un "Para debatir" que tiene anexo.

En el ejercicio 10 b vimos que el DCM (15, 12) es divisor del mcm (15, 12)...
En el "Para debatir" nos preguntabamos si siempre será así... ¿Siempre el DCM de dos números es divisor del mcm de esos mismos números?
Podemos usar letras para probarlo:
Queremos probar que:
"DCM (a,b) es divisor del mcm (a,b)"

Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a
2 -DCM (a,b) es divisor de b
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas)
6- a es divisor de mcm (a,b)
7 - b es divisor de mcm (a,b)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)...
No llegamos a terminarlo.

En la sexta hora practicamos los ejercicios que traían de tarea ya que la mayor parte de ustedes no lo había traído hecho.

Clase 65 - Cálculos y divisibilidad - 9 y 10

Repasamos la obtención del mcm y el DCM mediante la factorización.

REvisamos la tarea (ejercicios 9 y 10).

9. Encontrá el máximo común divisor entre:

a. 45 y 20:

45= 3 x 3 x 5

20= 2 x 2 x 5

DCM (45,20) = 5

b.25 y 35

25 = 5 x 5

35=5 x 7

10. a. Encontrá el DCM y el mcm entre 15 y 12

15 = 3 x 5

12 = 2 x 2 x 3

DCM (15,12) = 3

Empezamos a hacer y quedamos en terminar para la clase siguiente los ejercicios 19, 20 y 21.

19. Encontrá todos los divisores de 86.

20. Encontrá el m.c.m. entre:

-18 y 45

-24, 15 y 20

-7 y 13

-6 y 24

21. Encontrá el DCM entre:

-72, 64 y 48

-7 y 13

-6 y 24

Clase 63 - Cálculo y divisibilidad (m.c.m) 7

Explicamos un método para calcular el m.c.m. utilizando la descomposición en factores primos.
Por ejemplo de 12 y 30:
m.c.m.(12,30)

12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5

Un número que sea múltiplo de 12 y 30 deberá contener tanto a 12 como a treinta.

m.c.m (12,30) = 12 x ....
m.c.m. (12,30) = 30 x ...

Entonces escribimos la factorización de ese m.c.m.

Tiene que tener los factores de 12 la misma cantidad de veces:

m.c.m (12,30) = 2 x 2 x 3 x ...
y le agregamos los factores que faltan de 30 (sólo un 5)
m.c.m. (12, 30) = 2 x 2 x 3 x 5

Para mañan de tarea hacer el ejercicio 7 de la página 11