En la quinta hora seguimos trabajando con el problema 6 (lo leímos):
Tengo cierta cantidad de monedas. Si las coloco en pilas de a 3 ó de a 4, o bien de 5, siempre me sobra 1. ¿Qué cantidad de monedas puedo tener? ¿Hay una única solución?
En este caso hicimos la lista de números que dan resto 1 divididos por 3, 4 y por 5
Si los dividis por 3 dan resto 1:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
(es decir hicieron 3 x 1 + 1, 3 x 2 + 1, 3 x 3 + 1, 3 x 4 + 1... )
Si los dividis por 4 dan resto 1:
5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41
(es decir hicieron 4 x 1 + 1, 4 x 2 + 1, 4 x 3 + 1, 4 x 4 + 1... )
Si los dividis por 5 dan resto 1
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51
(es decir hicieron 5 x 1 + 1, 5 x 2 + 1, 5 x 3 + 1, 5 x 4 + 1... )
Haciendo los diez primeros de cada lista no se encuentra uno que aparezca en los tres. Sólo algunos que aparecen en dos al mismo tiempo. Hay que pasarse de 3 x 10 + 1, 4 x 10 + 1 y 5 x 10 + 1
Hay más múltiplos, siguen infinitamente...
Si los dividis por 3 dan resto 1:
34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64
Si los dividis por 4 dan resto 1:
45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85
Si los dividis por 5 dan resto 1
56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106
El 61 aparece en las tres listas... ¿Hay otro que aparezca en las tres? No llegamos a discutirlo
lunes, 10 de mayo de 2010
clase 39 - Problemas con múltiplos y divisroes - 5 y 6
En la segunda hora (luego de la hora de francés) trabajamos con el problema 5 de la página 9.
"Martín está ordenando su colección de CD. Si los guarda de a 6 no le sobra ninguno, tampoco si los pone de a 5 ó de a 9. ¿Cuántos CD tiene Martín, si sabe que son menos de 170?"
Teníamos que encontrar un número que cumpliera las siguientes condiciones:
A - si se lo divide por 6, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 6 o divisible por 6.
B - si se lo divide por 5, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 5 o divisible por 6
C - si se lo divide por 9, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 9 o divisible por 6.
D - es menor que 170.
La mayoría hizo listas con las tres primeras condiciones y vieron que número se repetía en las 3.
Condición A: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168.
Condición B: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165
Condición C: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162.
Luego trabajamos con el problema 6 (lo leímos):
Tengo cierta cantidad de monedas. Si las coloco en pilas de a 3 ó de a 4, o bien de 5, siempre me sobra 1. ¿Qué cantidad de monedas puedo tener? ¿Hay una única solución?
"Martín está ordenando su colección de CD. Si los guarda de a 6 no le sobra ninguno, tampoco si los pone de a 5 ó de a 9. ¿Cuántos CD tiene Martín, si sabe que son menos de 170?"
Teníamos que encontrar un número que cumpliera las siguientes condiciones:
A - si se lo divide por 6, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 6 o divisible por 6.
B - si se lo divide por 5, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 5 o divisible por 6
C - si se lo divide por 9, da resto 0 ó un numero que es múltiplo de 9 o divisible por 6.
D - es menor que 170.
La mayoría hizo listas con las tres primeras condiciones y vieron que número se repetía en las 3.
Condición A: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, 126, 132, 138, 144, 150, 156, 162, 168.
Condición B: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165
Condición C: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162.
Luego trabajamos con el problema 6 (lo leímos):
Tengo cierta cantidad de monedas. Si las coloco en pilas de a 3 ó de a 4, o bien de 5, siempre me sobra 1. ¿Qué cantidad de monedas puedo tener? ¿Hay una única solución?
viernes, 7 de mayo de 2010
Clase 38 - Problemas con múltiplos y divisores- 1
Hoy aprovechamos la séptima hora maravillosamente. Revisamos los tres primeros ejercicios del capítulo para ver si los podíamos resolver con división.
En el caso de verificar con la división que en el casillero 17, 2.533, 21, 37 y 509 va a estar la letra P, debía suceder que al dividir esos números por 4 el resto iba a dar 1.
Esos números son el siguiente a un múltiplo de 4 por eso sobra 1 al dividirlo por 4.
Luego al preguntarnos que números mayores que 200 van a tener la letra O acordamos en que debían ser números múltiplos de 4 o divisibles por 4.
Anotamos en la carpeta.
"Un número es divisible por 4, si al dividirlo por 4 da resto 0"
Ejemplos de números que pusieron en la carpeta son por ejemplo:
508: es anterior a 509, que dijimos que tenía resto 1, por lo tanto tiene resto 0.
Acordamos que:
La suma de dos múltiplos de 4 es múltiplo de 4.
Alguien propuso un número muy grande como:
258.744 como múltiplo de 4
258.744 =
=258.700 + 44 =
=2.587 x 100 + 11 x 4 =
Descomponemos el 100 en 25 x 4
=2.587 x 25 x 4 + 11 x 4 = y tenemos la suma de dos múltiplos de 4
Sacamos factor comun
= (2.587 x 25 +11) x 4 que es un múltiplo de 4 porque es el resultado de una multiplicación por 4
En el caso de verificar con la división que en el casillero 17, 2.533, 21, 37 y 509 va a estar la letra P, debía suceder que al dividir esos números por 4 el resto iba a dar 1.
Esos números son el siguiente a un múltiplo de 4 por eso sobra 1 al dividirlo por 4.
Luego al preguntarnos que números mayores que 200 van a tener la letra O acordamos en que debían ser números múltiplos de 4 o divisibles por 4.
Anotamos en la carpeta.
"Un número es divisible por 4, si al dividirlo por 4 da resto 0"
Ejemplos de números que pusieron en la carpeta son por ejemplo:
508: es anterior a 509, que dijimos que tenía resto 1, por lo tanto tiene resto 0.
Acordamos que:
La suma de dos múltiplos de 4 es múltiplo de 4.
Alguien propuso un número muy grande como:
258.744 como múltiplo de 4
258.744 =
=258.700 + 44 =
=2.587 x 100 + 11 x 4 =
Descomponemos el 100 en 25 x 4
=2.587 x 25 x 4 + 11 x 4 = y tenemos la suma de dos múltiplos de 4
Sacamos factor comun
= (2.587 x 25 +11) x 4 que es un múltiplo de 4 porque es el resultado de una multiplicación por 4
jueves, 6 de mayo de 2010
Clases 36 y 37 - Problemas con múltiplos y divisores - 1
Hoy tuvimos nuestro horario habitual de clase y una extra.
Revisamos en pequeños grupos los tres primeros problemas del capítulo para comparar procedimientos, y buscar procedimientos más económicos.
Problema 1
Para encontrar que letra aparecería en el casillero 17 se pueden completar los casilleros o ir sumando de cuatro en cuatro.
Pero para llegar al 2.533, trataron de encontrar métodos más económicos (más breves):
Procedimiento A
En lugar de saltar de 4 en 4, se puede saltar de 8 en 8 (ya que en 8 casilleros entra la palabra "PASO" en forma exacta), o de 12 en 12 (tres veces en forma exacta), o de 16 en 16...
Pudimos buscar saltos más grandes: de 40 en 40 (10 veces), de 400 en 400 (100 veces), de 4000 en 4000 pero nos pasamos del 2.533...
Propusieron de 1000 en 1000 (entra 250 en forma exacta). Al llegar al 2.000 podemos saltar hasta el 2.400, luego damos un salto de 120 (entra 30 veces en forma exacta), hay saltamos 12 (tres veces en forma exacta). Llegamos al número anterior. Así que en el casillero comienza la palabra PASO y va la letra P.
Procedimiento B
Podemos pensar directamente cuántas veces entra la palabra PASO en 2.533.
Tendríamos que llegar a un casillero que sea múltiplo de 4 cercano al 2.533.
¿Por qué número hay que multiplicar al 4 para que me dé dos mil quinientos treinta y pico?
Para responder esta pregunta trabajamos dos opciones:
B1:
podemos ir tanteando, por ejemplo:
4 x 10 = 40
4 x 100 = 400
4 x 1.000 = 4.000
La solución está entre 100 y 1.000 es un número de tres cifras.
4 x 600 = 2.400 y
4 x 700= 2.800.
El número está entre 600 y 700... Sí seguimos tanteando... llegaremos al número.
B2. Si queremos llegar de manera más rápido podemos utilizar la división.
Para saber que número multiplicado por 4 da 2.533, podemos hacer 2.533 : 4. Haciendolo con calculadora nos da 633,25. PASO entra 633 veces en forma exacta en 2.533. Si queremos saber cuántos casilleros sobran podemos hacer 2.533 - 633 x 4 = 1.
Con la calculadora hicimos la división exacta.
Si hacemos con lápiz y papel la división podemos hacer la división entera (con resto):
El cociente nos indica cuántas veces entra "PASO" en 2.533 casilleros. El resto cuantos casilleros sobran. Como sobra 1 ahì va la letra P.
Revisamos en pequeños grupos los tres primeros problemas del capítulo para comparar procedimientos, y buscar procedimientos más económicos.
Problema 1
Para encontrar que letra aparecería en el casillero 17 se pueden completar los casilleros o ir sumando de cuatro en cuatro.
Pero para llegar al 2.533, trataron de encontrar métodos más económicos (más breves):
Procedimiento A
En lugar de saltar de 4 en 4, se puede saltar de 8 en 8 (ya que en 8 casilleros entra la palabra "PASO" en forma exacta), o de 12 en 12 (tres veces en forma exacta), o de 16 en 16...
Pudimos buscar saltos más grandes: de 40 en 40 (10 veces), de 400 en 400 (100 veces), de 4000 en 4000 pero nos pasamos del 2.533...
Propusieron de 1000 en 1000 (entra 250 en forma exacta). Al llegar al 2.000 podemos saltar hasta el 2.400, luego damos un salto de 120 (entra 30 veces en forma exacta), hay saltamos 12 (tres veces en forma exacta). Llegamos al número anterior. Así que en el casillero comienza la palabra PASO y va la letra P.
Procedimiento B
Podemos pensar directamente cuántas veces entra la palabra PASO en 2.533.
Tendríamos que llegar a un casillero que sea múltiplo de 4 cercano al 2.533.
¿Por qué número hay que multiplicar al 4 para que me dé dos mil quinientos treinta y pico?
Para responder esta pregunta trabajamos dos opciones:
B1:
podemos ir tanteando, por ejemplo:
4 x 10 = 40
4 x 100 = 400
4 x 1.000 = 4.000
La solución está entre 100 y 1.000 es un número de tres cifras.
4 x 600 = 2.400 y
4 x 700= 2.800.
El número está entre 600 y 700... Sí seguimos tanteando... llegaremos al número.
B2. Si queremos llegar de manera más rápido podemos utilizar la división.
Para saber que número multiplicado por 4 da 2.533, podemos hacer 2.533 : 4. Haciendolo con calculadora nos da 633,25. PASO entra 633 veces en forma exacta en 2.533. Si queremos saber cuántos casilleros sobran podemos hacer 2.533 - 633 x 4 = 1.
Con la calculadora hicimos la división exacta.
Si hacemos con lápiz y papel la división podemos hacer la división entera (con resto):
El cociente nos indica cuántas veces entra "PASO" en 2.533 casilleros. El resto cuantos casilleros sobran. Como sobra 1 ahì va la letra P.
miércoles, 5 de mayo de 2010
clase 35 - Problemas con múltiplos y divisores - 4
Hoy retomamos el problema 4 de la página 9.
Para ello refrescamos cómo poder construir la lista de múltiplos de un número (tal como lo pueden leer en la entrada de la clase 34). También vimos cómo poder hacerlo con la calculadora.
Por ejemplo, para hacer la lista de los múltiplos de 4 con la calculadora:
Si pretamos las teclas: 4, + y 4 y luego =, aparecerá un 8 en el visor. Si volvemos a apretar "=", aparecerá el múltiplo siguiente (con el "=" vuelvo a sumar 4): 12. Si apreto de nuevo "=", 16 y así sucesivamente.
Retomamos las dos preguntas: ¿Cuál es el número que aparece en las dos listas?
Comparando las listas de múltiplos descubrimos que el primer número que aparece tanto en uan como en la otra lista es el 60.
¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas?
Para eso podemos escribir los múltiplos de 12 y los múltiplos de 15 y hallar las coincidencias
Luego escribimos en la carpeta.
Para resolver el problema 4: debimos encontrar los múltiplos comúnes de 12 y 15.
60 es el menor de lo múltiplos comunes de 12 y 15, lo que matemáticamente se escrbie:
m.c.m. (12, 15) = 60
m.c.m.: múltiplo común menor.
Alguien preguntó: si 60 es el menor, ¿cuál es el mayor?
Para ello refrescamos cómo poder construir la lista de múltiplos de un número (tal como lo pueden leer en la entrada de la clase 34). También vimos cómo poder hacerlo con la calculadora.
Por ejemplo, para hacer la lista de los múltiplos de 4 con la calculadora:
Si pretamos las teclas: 4, + y 4 y luego =, aparecerá un 8 en el visor. Si volvemos a apretar "=", aparecerá el múltiplo siguiente (con el "=" vuelvo a sumar 4): 12. Si apreto de nuevo "=", 16 y así sucesivamente.
Retomamos las dos preguntas: ¿Cuál es el número que aparece en las dos listas?
Comparando las listas de múltiplos descubrimos que el primer número que aparece tanto en uan como en la otra lista es el 60.
¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas?
Para eso podemos escribir los múltiplos de 12 y los múltiplos de 15 y hallar las coincidencias
múltiplos de 12: | múltiplos de 15: |
Luego escribimos en la carpeta.
Para resolver el problema 4: debimos encontrar los múltiplos comúnes de 12 y 15.
60 es el menor de lo múltiplos comunes de 12 y 15, lo que matemáticamente se escrbie:
m.c.m. (12, 15) = 60
m.c.m.: múltiplo común menor.
Alguien preguntó: si 60 es el menor, ¿cuál es el mayor?
martes, 4 de mayo de 2010
Clase 34 - Problemas con múltiplos y divisores - 4
Hoy trabajamos sobre el problema 4 de la página 9:
4. Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15.
a. ¿Cuál es el primer número que aparece en las dos listas?
b. ¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas.
Para hacerlo repasamos que significaba un múltiplo:
"Los múltiplos de 4 son los números de la tabla del 4."
"Los múltiplos de 4 son el resultado de multiplicar un número cualquiera por 4."
Para completar la lista de los múltiplos de un número comienzo por ese número y lo voy sumando repetidas veces.
Los múltiplos de 4:
Los múltiplos de 3
También podemos construir la lista haciendo multiplicando por 4 ó 3 o el número de que se trate los números naturales por orden:
Los múltiplos de 4
4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16...
Los múltiplos de 3
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12...
4. Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15.
a. ¿Cuál es el primer número que aparece en las dos listas?
b. ¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas.
Para hacerlo repasamos que significaba un múltiplo:
"Los múltiplos de 4 son los números de la tabla del 4."
"Los múltiplos de 4 son el resultado de multiplicar un número cualquiera por 4."
Para completar la lista de los múltiplos de un número comienzo por ese número y lo voy sumando repetidas veces.
Los múltiplos de 4:
Los múltiplos de 3
También podemos construir la lista haciendo multiplicando por 4 ó 3 o el número de que se trate los números naturales por orden:Los múltiplos de 4
4 x 1 = 4
4 x 2 = 8
4 x 3 = 12
4 x 4 = 16...
Los múltiplos de 3
3 x 1 = 3
3 x 2 = 6
3 x 3 = 9
3 x 4 = 12...
Una vez refrescado lo que es un múltiplo. Nos pusimos a responder las preguntas del problema.
4. Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15.
a. ¿Cuál es el primer número que aparece en las dos listas?
b. ¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas.
a. Para la primera pregunta contestamos 12 y 15 respectivamente.
Alguien preguntó si el 0 no es el primer número en todas las listas. No está mal, si incluimos el 0 en la lista de números naturales
También había quien había escrito 24 y 30. Pero todos los números son múltiplos de sí mismo.
12 es múltiplo de 12, 15 de 15, 4 de 4, etc.
b. Para la segunda:
lista de 12: 12, 24, 36, 48, 60
lista de 15: 15, 30, 45, 60, 75
Luego revisamos las preguntas nuevamente. Y en realidad lo que se estaba pidiendo era:
a. ¿Cuál es el primer número que está tanto en una como en la otra lista? Ése es el 60
b ¿Cuáles son los cinco primeros números que están tanto en una como en la otra lista?
Quedamos en terminarlo para mañana...
lunes, 3 de mayo de 2010
clase 33 - Problemas con múltiplos y divisores - 1, 2 y 3
La clase de hoy comenzó repasando los trabajado en el problema 1 de la pág. 8 y nos pusimos a trabajar en los problemas 2 ó 3.
2. Escriban una palabra de tres letras diferentes para repetir en esta tira, de manera que estén seguros de que en el casillero 37 va a estar la letra A.
Escribieron palabras que empezaban con A. Ubicaron la A de tal manera que siempre apareciera después de un múltiplo de 3.
3. Escriban ahora una palabra de 7 letras diferentes de manera que en el casillero 53 esté la letra E.
Nos quedamos discutiendo dónde iría a estar la letra E...
Para mañana revisaremos lo realizado:
- ¿Qué procedimiento utilizaron para encontrar las soluciones?
- Si dividieron, ¿qué relación hay entre los restos de las divisiones y los lugares que ocupan las letras?
Y hacemos el problema 4:
Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15.
a. ¿Cuál es el primer número que aparece en las dos listas?
b. ¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas?
2. Escriban una palabra de tres letras diferentes para repetir en esta tira, de manera que estén seguros de que en el casillero 37 va a estar la letra A.
Escribieron palabras que empezaban con A. Ubicaron la A de tal manera que siempre apareciera después de un múltiplo de 3.
3. Escriban ahora una palabra de 7 letras diferentes de manera que en el casillero 53 esté la letra E.
Nos quedamos discutiendo dónde iría a estar la letra E...
Para mañana revisaremos lo realizado:
- ¿Qué procedimiento utilizaron para encontrar las soluciones?
- Si dividieron, ¿qué relación hay entre los restos de las divisiones y los lugares que ocupan las letras?
Y hacemos el problema 4:
Una computadora va confeccionando dos listas, una con los múltiplos de 12 y otra con los de 15.
a. ¿Cuál es el primer número que aparece en las dos listas?
b. ¿Cuáles son los primeros cinco números que aparecen en las dos listas?
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