19. Decidí cuál de las siguientes opciones indica el conjunto de números que hacen verdadera al expresión n < 4.
a. n puede ser cualquier número natural.
Falso, naturales son todos los enteros positivos, es decir los mayores que 0, los números iguales o mayores a 4 no hacen verdadera la expresión. Solo los naturales menores que 4: 1, 2 y 3
b. n puede ser cualquier entero.
Falso, los positivos o naturales pueden ser entero, y ya probamos que no hacen verdadere la expreseión.
c. n puede ser cualqier entero negativo.
Verdadero, todos los negativos son menores que 4.
20. Encontrá un número entero m que al restarle 3 se obtenga un negativo. Si hay una respuesta única, indicá cuál es; si hay másde una, mencioná todos los números m que cumplan esa condición.
(similar al ejercio 5 de la pág. 28 que habíamos hecho ayer).
21. Encontrá, si es posible, números enteros a y b, de manera que se cumpla a + b <>
Es imposible que a y b sean los dos positivos, nunca entre los naturales si hacemos una suma, el resultado es menor que los sumandos.
El número que le tenemos que sumar a un positivo para que la suma de menor que él es un negativo, ya que por ejemplo 4 + (-5) puede ser pensado como la resta 4 - 5 = -1 (resultado menor que 4)
Si el número es negativo y le queremos sumar otro también tiene que ser negativo para que nos dé menor el resultado.
martes, 28 de septiembre de 2010
Clase 111. Para estudiar los primeros problemas del capítulo II..17 y 18
8va hora del lunes 27
17. Encontrá, si es posible, un número que sumado a 6 dé un número menor que -3.
Vimos varios ejemplos, tenían que ser números que estuvieran a más de 6 a la izqueirda de -3, es decir a más de 9 a la izquierda de 0, es decir tenían que ser menores que -9.
18. Escribí 4 valores posibles para el número m que hagan verdadera la expresión
m > -11
Cualquier número mayor que -11 hace verdadera la expresión: -10, 28, -7, etc.
17. Encontrá, si es posible, un número que sumado a 6 dé un número menor que -3.
Vimos varios ejemplos, tenían que ser números que estuvieran a más de 6 a la izqueirda de -3, es decir a más de 9 a la izquierda de 0, es decir tenían que ser menores que -9.
18. Escribí 4 valores posibles para el número m que hagan verdadera la expresión
m > -11
Cualquier número mayor que -11 hace verdadera la expresión: -10, 28, -7, etc.
Clases 110. Usar letras para analizar relaciones entre enteros I. 5, 6 y 7.
lunes 27 de septiembre
5. Encontrá un número entero k de manera que al sumarle 5 el resultado sea negativo. Si hay una respuesta única indicá cuál es; si hay más de uan, mencioná cuáles son todos los números k que cumplen esa condición.
Encontramos varias soluciones, por ejemplo
-8, por que -8 + 5 = -3
-20, porque -20 + 5 = -15
Todos los números k que si les sumamos 5 son negativos (k + 5 <>k < -5
6. Encontrá, si es posible, un valor para el entero a, de manera que la resta a - a - a dé un número positivo. Si hay una única respuesta, indicá cuál es. Si hay más de una, mencioná todos los números a que cumplen esa condición.
Probamos con ejemplos.
Que pasa si a es positivo y que pasa si a es negativo
Si a es positivo, por ejemplo
8, a-a-a=8-8-8= 0-8= -8
Si a es negativo, por ejemplo
-7 = -7 - (-7)-(-7) = -7 + 7 + 7 = 0 +7 = 7
Pudimos generalizar a que si a -a -a = -a
y que si a es negativo entonces -a es positivo, y a-a-a también
Pero eso habria que probarlo
a-a -a = 0 -a = -a
7. Si m - 1 y n - 2 son números enteros, encontrá un valor para n y otro para m de manera que m - 1 sea menor que n- 2
Si m y n estaba a bastante distancia y m < n, era fácil encontrar ejemplos
por ejemplo m = -5 y n = 10
m-1 = -4
n-2 = 8
Pero no siempre que m < n, la solución era válida
Nos preguntamos a qué distancia tenían que estar m y n para que la solución fuera correcta
Probamos con
m = 4 y n = 8 . m y n estaban a 4 de distancia
m-1 = 3
n - 2 = 6. ok
Achicamos la distancia
m = 4 y n = 7
m-1 = 3
n - 2 = 5. ok
Y un poco más
m = 4 y n = 6
m-1 = 3
n - 2 = 4. ok
pero si estaban a 1 de distancia
m = 4 y n = 5
m-1 = 3
n - 2 = 3. ok
Vimos si podíamos probar para todos los casos que tenían que estar a 1 de distancia
Si la distancia entre m y n es 1.
m-1 está 2 unidades a la izquierda de n
y n-2 también está a dos unidades a la izquierda de n
por lo tanto m-1 = n-2.
5. Encontrá un número entero k de manera que al sumarle 5 el resultado sea negativo. Si hay una respuesta única indicá cuál es; si hay más de uan, mencioná cuáles son todos los números k que cumplen esa condición.
Encontramos varias soluciones, por ejemplo
-8, por que -8 + 5 = -3
-20, porque -20 + 5 = -15
Todos los números k que si les sumamos 5 son negativos (k + 5 <>k < -5
6. Encontrá, si es posible, un valor para el entero a, de manera que la resta a - a - a dé un número positivo. Si hay una única respuesta, indicá cuál es. Si hay más de una, mencioná todos los números a que cumplen esa condición.
Probamos con ejemplos.
Que pasa si a es positivo y que pasa si a es negativo
Si a es positivo, por ejemplo
8, a-a-a=8-8-8= 0-8= -8
Si a es negativo, por ejemplo
-7 = -7 - (-7)-(-7) = -7 + 7 + 7 = 0 +7 = 7
Pudimos generalizar a que si a -a -a = -a
y que si a es negativo entonces -a es positivo, y a-a-a también
Pero eso habria que probarlo
a-a -a = 0 -a = -a
7. Si m - 1 y n - 2 son números enteros, encontrá un valor para n y otro para m de manera que m - 1 sea menor que n- 2
Si m y n estaba a bastante distancia y m < n, era fácil encontrar ejemplos
por ejemplo m = -5 y n = 10
m-1 = -4
n-2 = 8
Pero no siempre que m < n, la solución era válida
Nos preguntamos a qué distancia tenían que estar m y n para que la solución fuera correcta
Probamos con
m = 4 y n = 8 . m y n estaban a 4 de distancia
m-1 = 3
n - 2 = 6. ok
Achicamos la distancia
m = 4 y n = 7
m-1 = 3
n - 2 = 5. ok
Y un poco más
m = 4 y n = 6
m-1 = 3
n - 2 = 4. ok
pero si estaban a 1 de distancia
m = 4 y n = 5
m-1 = 3
n - 2 = 3. ok
Vimos si podíamos probar para todos los casos que tenían que estar a 1 de distancia
Si la distancia entre m y n es 1.
m-1 está 2 unidades a la izquierda de n
y n-2 también está a dos unidades a la izquierda de n
por lo tanto m-1 = n-2.
viernes, 17 de septiembre de 2010
clase 107, 108, 109: Usar letras para analizar relaciones entre enteros I: 4
martes 14, viernes 17 y miércoles 22 de septiembre
Problema 3 (pág. 28)
Si a y b son enteros, y a < b, ¿es cierto que -a < - b?
Para resolver la pregunta pusimos a prueba lo que decía poniendo algunos ejemplos...
4 < 5: es falso que -4 < - 5
-10 < -2: es falso que 10 < 2
-10 < 5: es falso que 10 < - 5
Con algunos ejemplos podemos asegurar que no siempre que a y b son enteros, y a < b es cierto que -a < - b, ya que algunas veces no lo es.
Pero nosotros dijimos que nunca es cierto, porque dos números opuestos son números que están a la misma distancia de cero, y cuando son negativos es mayor el que está más cerca y menor el que está más lejos, pero entre los positivos o naturales pasa lo opuesto.
Asi que si a <> b
b) si a y b son negativos, como a es menor está más lejos de 0 que b, y -a está más lejos que -b de 0 y por lo tanto -a > -b
c) si a es negativo y b positivo, entonces -a es positivo y -b negativo, por lo tanto -a > -b
Por lo tanto:
Si a y b son enteros y a < b, -a > - b?
Problema 4
Si a y b son enteros, y a > b, encuentren en cada caso, si es posible, tres ejemplos de números enteros a y b, de manera que la expresión sea verdadera.
a. a + 1 <>
Hicimos una corrección equivocada de este ejercicio porque habíamos tomado que
a <>
Entonces buscamos tres ejemplos un número entero a que fuera menor que otro entero b
Si los números estaban bastante lejos a + 1 era menor que b - 1:
Por ejemplo
Si a = -10 y b= 8, entonces a + 1 = -9 y b- 1 = 7
Pero nos preguntamos si valía para todos los números.
Vimos que si estaban a 1 de distancia, no valía:
por ejemplo
si a = 4 y b = 5, entonces a + 1 = 5 y b-1= 4 así que a + 1 es mayor que b-1
Si estaban a 2 de distancia tampoco valía
si a = 4 y b = 6, entonces a + 1 = 5 y b-1 0 5, de modo que a + 1 = b- 1.
Llegamos a la conclusión de que a y b tenían que estar a por lo menos 3 de distancia.
Por ejemplo
a = 4 y b= 7
Después nos dimos cuenta que en el ejercicio se partía de que a > b
Teníamos que buscar un número a mayor que b y agrandar a en uno y b achicarlo también en 1 y que se invirtiera la relación. Es imposible hacerlo ya que de esa manera se agranda la distancia en entre los dos números. Por ejemplo si a es 4 y b es -1, a y b están a 5 de distancia, si hacemos más grande a y más chico b, la distancia aumenta en 7. a + 1 siempre es más grande que b-1 si a es mayor que b.
b. a - 1 <> b + 1. En este caso los número tiene que estar a tres de distancia por lo menos, por ejemplo
a = 7 y b = 2, entonces a-1=6 y b+1= 3,
pero si están a menos de 3
por ejemplo
a= 7 y b = 5, entonces a-1=6 y b+1= 6...
Al final de la clase del miércoles 22, hicimos individualmente el ejercicio 5, falta corregirlo entre todos.
Problema 3 (pág. 28)
Si a y b son enteros, y a < b, ¿es cierto que -a < - b?
Para resolver la pregunta pusimos a prueba lo que decía poniendo algunos ejemplos...
4 < 5: es falso que -4 < - 5
-10 < -2: es falso que 10 < 2
-10 < 5: es falso que 10 < - 5
Con algunos ejemplos podemos asegurar que no siempre que a y b son enteros, y a < b es cierto que -a < - b, ya que algunas veces no lo es.
Pero nosotros dijimos que nunca es cierto, porque dos números opuestos son números que están a la misma distancia de cero, y cuando son negativos es mayor el que está más cerca y menor el que está más lejos, pero entre los positivos o naturales pasa lo opuesto.
Asi que si a <> b
b) si a y b son negativos, como a es menor está más lejos de 0 que b, y -a está más lejos que -b de 0 y por lo tanto -a > -b
c) si a es negativo y b positivo, entonces -a es positivo y -b negativo, por lo tanto -a > -b
Por lo tanto:
Si a y b son enteros y a < b, -a > - b?
Problema 4
Si a y b son enteros, y a > b, encuentren en cada caso, si es posible, tres ejemplos de números enteros a y b, de manera que la expresión sea verdadera.
a. a + 1 <>
Hicimos una corrección equivocada de este ejercicio porque habíamos tomado que
a <>
Entonces buscamos tres ejemplos un número entero a que fuera menor que otro entero b
Si los números estaban bastante lejos a + 1 era menor que b - 1:
Por ejemplo
Si a = -10 y b= 8, entonces a + 1 = -9 y b- 1 = 7
Pero nos preguntamos si valía para todos los números.
Vimos que si estaban a 1 de distancia, no valía:
por ejemplo
si a = 4 y b = 5, entonces a + 1 = 5 y b-1= 4 así que a + 1 es mayor que b-1
Si estaban a 2 de distancia tampoco valía
si a = 4 y b = 6, entonces a + 1 = 5 y b-1 0 5, de modo que a + 1 = b- 1.
Llegamos a la conclusión de que a y b tenían que estar a por lo menos 3 de distancia.
Por ejemplo
a = 4 y b= 7
Después nos dimos cuenta que en el ejercicio se partía de que a > b
Teníamos que buscar un número a mayor que b y agrandar a en uno y b achicarlo también en 1 y que se invirtiera la relación. Es imposible hacerlo ya que de esa manera se agranda la distancia en entre los dos números. Por ejemplo si a es 4 y b es -1, a y b están a 5 de distancia, si hacemos más grande a y más chico b, la distancia aumenta en 7. a + 1 siempre es más grande que b-1 si a es mayor que b.
b. a - 1 <> b + 1. En este caso los número tiene que estar a tres de distancia por lo menos, por ejemplo
a = 7 y b = 2, entonces a-1=6 y b+1= 3,
pero si están a menos de 3
por ejemplo
a= 7 y b = 5, entonces a-1=6 y b+1= 6...
Al final de la clase del miércoles 22, hicimos individualmente el ejercicio 5, falta corregirlo entre todos.
clase 105 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II - 11 a 13
lunes 13 de septiembre
revisamos ejercicios 11 a 13, pág. 29
11. Se sabe que el entero k es mayor que 7. ¿Puede asegurarse que todos los números que están a distancia 5 de k son naturales?
Seguro que son todos naturales los que están a distancia 5 de k, porque si por ejemplo
k = 8 los que están a distancia 5 de k serán k-5 = 3 y k+5 = 13, si aumento k, aumentarán k - 5 y k - 5 que seguirán dando resultado dentro de los naturales
12. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que uno de los números que está a distancia 5 de k sea negativo?
El número negativo mayor que podría estar a distancia 5 de k es -1. En ese caso k sería igual a 4, por lo tanto k debe ser mayor o igual a 4 para que uno de los números que esté a distancia 5 de k sea negativo.
13. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos?
En este caso tanto k + 5 como k - 5 deben ser negativos, por lo tanto k también.
El valor máximo que puede tomar k + 5 es -1, en ese caso k será -6
K debe ser menor o igual a -6 para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos
revisamos ejercicios 11 a 13, pág. 29
11. Se sabe que el entero k es mayor que 7. ¿Puede asegurarse que todos los números que están a distancia 5 de k son naturales?
Seguro que son todos naturales los que están a distancia 5 de k, porque si por ejemplo
k = 8 los que están a distancia 5 de k serán k-5 = 3 y k+5 = 13, si aumento k, aumentarán k - 5 y k - 5 que seguirán dando resultado dentro de los naturales
12. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que uno de los números que está a distancia 5 de k sea negativo?
El número negativo mayor que podría estar a distancia 5 de k es -1. En ese caso k sería igual a 4, por lo tanto k debe ser mayor o igual a 4 para que uno de los números que esté a distancia 5 de k sea negativo.
13. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos?
En este caso tanto k + 5 como k - 5 deben ser negativos, por lo tanto k también.
El valor máximo que puede tomar k + 5 es -1, en ese caso k será -6
K debe ser menor o igual a -6 para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos
viernes, 10 de septiembre de 2010
clase 103 . Usar letras para analizar relaciones entre enteros I : 2 y Para estudiar ls primeros problemas del capítulo II . 10
Quinta hora del martes 7
Hicimos hasta el ejercicio 2 de la página 28.
2. Si m-1 es un número entero, asignale tres valores a m para que m - 1 sea positivo.
m - 1 puede tomar como valor mínimo 1, por lo tanto m deberá ser igual o menor a 2
Tres valores posibles son 2, 10, 24
Puesta en común del ejercicio 10 de la página 29
10. Se sabe que el número entero k es menor que 0. ¿Se puede asegurar que el opuesto de k es un natural?
Si k es menor que 0, es negativo, los opuestos de los negativos son positivos, por lo tanto sí se puede asegura que el opuesto de k (negativo) es un natural (positivo).
Hicimos hasta el ejercicio 2 de la página 28.
2. Si m-1 es un número entero, asignale tres valores a m para que m - 1 sea positivo.
m - 1 puede tomar como valor mínimo 1, por lo tanto m deberá ser igual o menor a 2
Tres valores posibles son 2, 10, 24
Puesta en común del ejercicio 10 de la página 29
10. Se sabe que el número entero k es menor que 0. ¿Se puede asegurar que el opuesto de k es un natural?
Si k es menor que 0, es negativo, los opuestos de los negativos son positivos, por lo tanto sí se puede asegura que el opuesto de k (negativo) es un natural (positivo).
Clase 102,
8va hora del lunes 6
Llegamos hasta el ejercicio 1a de la página 28
En una recta númerica están ubicados el 0, el 1 y el número n.
Nos pedían ubicar:
a) el n +1 : había que ubicarlo a la derecha de n a la misma distancia que el 0 del 1
Llegamos hasta el ejercicio 1a de la página 28
En una recta númerica están ubicados el 0, el 1 y el número n.
Nos pedían ubicar:
a) el n +1 : había que ubicarlo a la derecha de n a la misma distancia que el 0 del 1
lunes, 6 de septiembre de 2010
Clase 101 - Sumas y restas con números enteros . 12 y Para debatir
2a hora del 6 de septiembre
Pusimos en común el ejercicio 12 de la página 27.
12. ¿Qué resultado se obtiene en cada cálculo?
a. 3 + (-9) = 3 -9 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
3-9 = -6
b. -8 -(-11) = -8 + 11 (restar un negativo es como restar su opuesto)
-8 + 11 = 11 + (-8) (conmutatividad de la suma)
11+ (-8) = 11-8 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
11-8 = 3
c. -5 + 38 = 38 + (-5) = 38 - 5 = 33
d. -17 - ( - 21) = -17 + 21 = 21-17 = 4
e. 31 + (-15) = 31 - 15 = 16
f. -16 - ( - 16) = -16 + 16 = 0
Para debatir
* El resultado de una suma en la que intervienen números enteros, ¿puede ser menor que alguno de los sumandos? ¿Y que los dos sumandos?
Para responder esta pregunta exploramos las sumas que habiamos hecho en los ejercicios anteriores y encontramos que, a diferencia de los números naturales, el resultado de una suma de enteros puede ser menor que uno o dos de los sumandos.
Por ejemplo:
4 + (-3) = 1 El resultado es menor que uno de los sumandos (4)
-4 - (-5) = - 9 El resultado es menor que los dos sumandos.
* ¿Qué número se podrá sumar al entero a para obtener como resultado el número -a?
Para resolver esto empezamos a explorar con algunos ejemplso
Por ejemplo si a = 5, -a = -5, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es -10
a = -4, -a = 4, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es 8
Pusimos en común el ejercicio 12 de la página 27.
12. ¿Qué resultado se obtiene en cada cálculo?
a. 3 + (-9) = 3 -9 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
3-9 = -6
b. -8 -(-11) = -8 + 11 (restar un negativo es como restar su opuesto)
-8 + 11 = 11 + (-8) (conmutatividad de la suma)
11+ (-8) = 11-8 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
11-8 = 3
c. -5 + 38 = 38 + (-5) = 38 - 5 = 33
d. -17 - ( - 21) = -17 + 21 = 21-17 = 4
e. 31 + (-15) = 31 - 15 = 16
f. -16 - ( - 16) = -16 + 16 = 0
Para debatir
* El resultado de una suma en la que intervienen números enteros, ¿puede ser menor que alguno de los sumandos? ¿Y que los dos sumandos?
Para responder esta pregunta exploramos las sumas que habiamos hecho en los ejercicios anteriores y encontramos que, a diferencia de los números naturales, el resultado de una suma de enteros puede ser menor que uno o dos de los sumandos.
Por ejemplo:
4 + (-3) = 1 El resultado es menor que uno de los sumandos (4)
-4 - (-5) = - 9 El resultado es menor que los dos sumandos.
* ¿Qué número se podrá sumar al entero a para obtener como resultado el número -a?
Para resolver esto empezamos a explorar con algunos ejemplso
Por ejemplo si a = 5, -a = -5, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es -10
a = -4, -a = 4, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es 8
Clase 99 y 100 - Sumas y restas con números enteros
Clase del miércoles 1 de septiembre
Algunos completaron la prueba otras avanzaron con los ejercicios de la página 11.
Clase del viernes 3 de septiembre
El profe falto hicierno ejercicios cno Yanina
Algunos completaron la prueba otras avanzaron con los ejercicios de la página 11.
Clase del viernes 3 de septiembre
El profe falto hicierno ejercicios cno Yanina
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