Hoy empezamos a practicar, repasar, estudiar para la prueba...
No llegamos a hacer más allá del problema 11.
Problema 10.
2002 es divisible por 2, 2 entonces es divisor o factor de 2002.
2002 es divisible por 7, 7 entonces es divisor o factor de 2002.
2 y 7 son factores de 2002, es decir:
2002 = 2 x algo más.
2002 = 7 x algo más.
2 y 7 son primos, por lo tanto son factores primos de 2002.
2002 = 2 x 7 x algo más.
2002 = 14 x algo más
14 es divisor de 2002.
Entonces 2002 es divisible por 14.
Si generalizamos lo que pensamos en este problema:
Si a y b son factores primos de un número, ese número es divisible por a x b.
Algunos hicieron o empezaron a hacer el 11 pero no llegamos a revisarlo en el pizarrón.
miércoles, 30 de junio de 2010
martes, 29 de junio de 2010
Clase 73: Revisar lo trabajado en la clase de ayer
Hoy revisamos, estudiamos, los problemas que hicimos ayer.
Estudiar no sólo es practicar es practicar reflexionando
sobre lo que hace o se hizo. Cómo jugadores de un equipo
que revisan como jugaron un partido o piensan estrategias
para juegos futuros.
La pregunta que guió nuestra revisión fue: ¿Qué
conocimientos matemáticos tuvimos que usar o aprender para
resolver la actividad?
Ejercicio 9 (página 13):
La relación "es divisor de" es transitiva.
Si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es
divisor de c.
Ejercicio 11 (página 11)
Los números que no tienen factores primos en común, sólo
tienen al 1 de divisor común, y por lo tanto su dcm es 1 y
su mcm se obtiene mutliplicandolos entre sí.
Ejercicio 6 (página 12)
Para probar una generalización no alcanza con mostrar
muchos ejemplos, pero basta con un contraejemplo para
negarla.
Si bien la fórmula n x n x 2 + 29 da como resultado muchas
veces números primos. No siempre.
Jazmín encontró el caso en el que n sea 29.
Sin necesidad de hacer la cuenta mostró que
si 29 x 29 x 2 es múltiplo de 29 (lo tienen como factor)
y 29 es múltiplo de sí mismo como todos los números.
entonces la suma 29 x 29 x 2 + 29 será múltiplo de 29, y no
será primo,porque es la suma de dos múltiplos, y la suma de
dos múltiplos siempre será un múltiplo.
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
Ejercicio 7 (página 12)
La suma de dos primos a veces da número primo y a veces
número compuesto.
Ejercicio 8 (página 12)
El producto de dos números primos es siempre número
compuesto, ya que los dos números primos son sus divisores
y también el producto entre ambos. Si le agregamos el 1,
tiene cuatro divisores.
Estudiar no sólo es practicar es practicar reflexionando
sobre lo que hace o se hizo. Cómo jugadores de un equipo
que revisan como jugaron un partido o piensan estrategias
para juegos futuros.
La pregunta que guió nuestra revisión fue: ¿Qué
conocimientos matemáticos tuvimos que usar o aprender para
resolver la actividad?
Ejercicio 9 (página 13):
La relación "es divisor de" es transitiva.
Si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es
divisor de c.
Ejercicio 11 (página 11)
Los números que no tienen factores primos en común, sólo
tienen al 1 de divisor común, y por lo tanto su dcm es 1 y
su mcm se obtiene mutliplicandolos entre sí.
Ejercicio 6 (página 12)
Para probar una generalización no alcanza con mostrar
muchos ejemplos, pero basta con un contraejemplo para
negarla.
Si bien la fórmula n x n x 2 + 29 da como resultado muchas
veces números primos. No siempre.
Jazmín encontró el caso en el que n sea 29.
Sin necesidad de hacer la cuenta mostró que
si 29 x 29 x 2 es múltiplo de 29 (lo tienen como factor)
y 29 es múltiplo de sí mismo como todos los números.
entonces la suma 29 x 29 x 2 + 29 será múltiplo de 29, y no
será primo,porque es la suma de dos múltiplos, y la suma de
dos múltiplos siempre será un múltiplo.
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
Ejercicio 7 (página 12)
La suma de dos primos a veces da número primo y a veces
número compuesto.
Ejercicio 8 (página 12)
El producto de dos números primos es siempre número
compuesto, ya que los dos números primos son sus divisores
y también el producto entre ambos. Si le agregamos el 1,
tiene cuatro divisores.
lunes, 28 de junio de 2010
Clase 72 - Cálculos y divisibilidad 11 - Números primos 6, 7 y 8
Continuamos con el ejercicio 11 (c y d) de la página 11
11.c
m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Estuvimos buscando ejemplos de números que cumplieran la condición.
Pasaba cuando a y b eran primos...
por ejemplo el mcm ( 3 ; 5) es 15
pero no unicamente.
Siempre que dos números no tienen divisores en común (lo reconocemos porque al factorizar no tienen factores primos en común), el mcm se calcula multiplicando uno por otro. En este caso decimos que los números son coprimos.
11. d
m.c.m. (a;b) = 5
5 es sólo múltiplo de 5 y de 1 por ser primo, por lo cual, a y b tienen solo pueden ser 1 ó 5 (pero uno de los dos si o si tiene que ser 5):
a = 1 b = 5
a = 5 b = 1
a = 5 b = 5
Luego continuamos cno los ejercicios 6 y 7 de la página 12 (números primos). El 8 va de tarea.
6. Elegí un número natural, elevalo al cuadrado, multiplicalo por 2 y al resultado sumale 29. ¿Será cierto que se obtiene un número primo?
Encontramos un montón de ejemplos en los cuales se daba que esto era si.
n x n x 2 + 29.
Establecimos que no podíamos saber si siempre ocurriría por que pasara en muchos casos.
De hecho, Jazmín encontró un contraejemplo. En el caso de que el número (n) fuera 29:
El cálculo sería:
29 x 29 x 2 + 29.
El primer término (29 x 29 x 2) es múltiplo de 29 si le sumo otro 29 sì o sí obtengo otro múltiplo de 29:
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
7. Si se suman dos números primos, ¿se obtiene siempre otro número? ¿A veces? ¿Nunca?
A veces sí, a veces no:
5 + 7 = 12 (ahí no)
13 + 2 = 12 (ahí tampoco)
Pero:
2 + 3 = 5 (acá sí).
Para mañana pensamos el 8:
Si se multiplican dos números primos, ¿es posible obtener otro número primo?
11.c
m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Estuvimos buscando ejemplos de números que cumplieran la condición.
Pasaba cuando a y b eran primos...
por ejemplo el mcm ( 3 ; 5) es 15
pero no unicamente.
Siempre que dos números no tienen divisores en común (lo reconocemos porque al factorizar no tienen factores primos en común), el mcm se calcula multiplicando uno por otro. En este caso decimos que los números son coprimos.
11. d
m.c.m. (a;b) = 5
5 es sólo múltiplo de 5 y de 1 por ser primo, por lo cual, a y b tienen solo pueden ser 1 ó 5 (pero uno de los dos si o si tiene que ser 5):
a = 1 b = 5
a = 5 b = 1
a = 5 b = 5
Luego continuamos cno los ejercicios 6 y 7 de la página 12 (números primos). El 8 va de tarea.
6. Elegí un número natural, elevalo al cuadrado, multiplicalo por 2 y al resultado sumale 29. ¿Será cierto que se obtiene un número primo?
Encontramos un montón de ejemplos en los cuales se daba que esto era si.
n x n x 2 + 29.
Establecimos que no podíamos saber si siempre ocurriría por que pasara en muchos casos.
De hecho, Jazmín encontró un contraejemplo. En el caso de que el número (n) fuera 29:
El cálculo sería:
29 x 29 x 2 + 29.
El primer término (29 x 29 x 2) es múltiplo de 29 si le sumo otro 29 sì o sí obtengo otro múltiplo de 29:
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
7. Si se suman dos números primos, ¿se obtiene siempre otro número? ¿A veces? ¿Nunca?
A veces sí, a veces no:
5 + 7 = 12 (ahí no)
13 + 2 = 12 (ahí tampoco)
Pero:
2 + 3 = 5 (acá sí).
Para mañana pensamos el 8:
Si se multiplican dos números primos, ¿es posible obtener otro número primo?
Clase 71 - Para estudiar los primeros problemas del capìtulo de números naturales. 9. Cálculo y divisibilidad 11.a, b y c.
Corregimos:
Ejercicio 9 (pág. 13):
El número 46 es divisor de 322. ¿Será cierto que 46 es divisor de:
a. 644?
b. 966?
c. 161?
Decidí sin hacer la cuenta de dividir.
a. Cómo 644 es el doble de 322, es múltiplo de 322. Entonces 322 es divisor de 644
Y si 46 es divisor de 322
y 322 es divisor de 644,
entonces 46 es divisor de 644.
b. Es similar al anterior (966 es el triple de 322). Expliquémoslo de otra manera.
322 = 46 x n (n es algún número natural)
966 = 3 x 322, entoncse 966 = 3 x 46 x n , entonces 46 es divisor de 966
c. 161 es la mitad de 322 no sabemos si hay un número natural que multiplicado por 161 dé 322.
O bien:
SAbemos que no hay un número que multiplicado por 46 dé 161, porque 161 no es multiplo de 2 y 46 sí, Y sí 161 fuera múltiplo de 46, debería ser múltiplo también de sus divisores.
Retomamos luego el ejercicio 11 de la página 11.
11.a (repaso)
m.c.m. (a; b) = 1 , entonces a = b = 1 porque 1 es sólo múltiplo de sí mismo.
11.b (repaso)
m.c.m. (a; b) = a.
Vimos pares de números que hicieran que el mcm de los dos fuera el primero de ellos.
(10; 5) (25;5) (100; 10) (35; 7).
En todos los casos a es mayor o igual que b y a = n. b (siendo n un nùmero natural), es decir a es múltiplo de b.
11.c m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Ejercicio 9 (pág. 13):
El número 46 es divisor de 322. ¿Será cierto que 46 es divisor de:
a. 644?
b. 966?
c. 161?
Decidí sin hacer la cuenta de dividir.
a. Cómo 644 es el doble de 322, es múltiplo de 322. Entonces 322 es divisor de 644
Y si 46 es divisor de 322
y 322 es divisor de 644,
entonces 46 es divisor de 644.
b. Es similar al anterior (966 es el triple de 322). Expliquémoslo de otra manera.
322 = 46 x n (n es algún número natural)
966 = 3 x 322, entoncse 966 = 3 x 46 x n , entonces 46 es divisor de 966
c. 161 es la mitad de 322 no sabemos si hay un número natural que multiplicado por 161 dé 322.
O bien:
SAbemos que no hay un número que multiplicado por 46 dé 161, porque 161 no es multiplo de 2 y 46 sí, Y sí 161 fuera múltiplo de 46, debería ser múltiplo también de sus divisores.
Retomamos luego el ejercicio 11 de la página 11.
11.a (repaso)
m.c.m. (a; b) = 1 , entonces a = b = 1 porque 1 es sólo múltiplo de sí mismo.
11.b (repaso)
m.c.m. (a; b) = a.
Vimos pares de números que hicieran que el mcm de los dos fuera el primero de ellos.
(10; 5) (25;5) (100; 10) (35; 7).
En todos los casos a es mayor o igual que b y a = n. b (siendo n un nùmero natural), es decir a es múltiplo de b.
11.c m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
viernes, 25 de junio de 2010
Clase 70 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo de números naturales: 8
Revisamos uno de los ejercicios de la tarea. Ninguno lo había hecho.
8. Hay una tira que se puede dividir en tiras iguales de 5 cm de largo.
¿Es posible dividir en tiras de 5 cm una que mida:
a.el doble de la dibujada?
b. el triple de la dibujada?
c. la mitad de la dibujada?
Decidí en todos los casos sin construir las tiras.
Respondimos sì, para le caso a y b. Si podemos dividir en tiras iguales de 5 cm, al sumarle una o dos partes iguales màs, esas partes también podrán subdividirse en partes iguales de 5 cm.
La tira inicial tiene una longitud que es múltiplo de 5. Es decir un número desconocido b multiplicado por 5 da la medida de la tira que sí o sí será múltiplo de 5. Es decir si la longitud de la tira es a = b x 5, el doble de la tira será
2 x a = 2 x a x 5, y el triple de la tira será 3 x a = 3 x a x 5. Un múltiplo de un multiplo de 5, también es múliplo de 5.
En cuanto al caso c. dijimos que no siempre al dividir por la mitad la tira, las partes resultantes serán divisibles por 5. Por ejemplo, sì la tira inicial mide 15 cm, puede dividirse en tres partes iguales de 5 cm c/u pero la mitad de esa tira no.
Nos preguntamos en qué casos si obtendríamos una tira divisible otra vez por 5. Si la medida de la tira es a = b x 5, es decir una tira de una longitud de a cm, que se puede dividir en una cantidad b de tiras de 5 cm, la mitad de la tira será divisible por 5 en el caso de que b sea par.
Relacionamos la transitividad de la relación "ser múltiplo d"( "Si 5 es múltiplo de 15 y 15 múltiplo de 45, entonces 5 es múltiplo de 45" o "Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de be) con el "Para debatir" de la página 11 que habíamos trabajado en al clase anterior, ya que habíamos visto que:
Si el mcm (12, 15) es múltiplo de 12 y 12 es múltiplo del dcm (12,15), entonces el mcm (12,15) es múltiplo del dcm (12,15)
8. Hay una tira que se puede dividir en tiras iguales de 5 cm de largo.
¿Es posible dividir en tiras de 5 cm una que mida:
a.el doble de la dibujada?
b. el triple de la dibujada?
c. la mitad de la dibujada?
Decidí en todos los casos sin construir las tiras.
Respondimos sì, para le caso a y b. Si podemos dividir en tiras iguales de 5 cm, al sumarle una o dos partes iguales màs, esas partes también podrán subdividirse en partes iguales de 5 cm.
La tira inicial tiene una longitud que es múltiplo de 5. Es decir un número desconocido b multiplicado por 5 da la medida de la tira que sí o sí será múltiplo de 5. Es decir si la longitud de la tira es a = b x 5, el doble de la tira será
2 x a = 2 x a x 5, y el triple de la tira será 3 x a = 3 x a x 5. Un múltiplo de un multiplo de 5, también es múliplo de 5.
En cuanto al caso c. dijimos que no siempre al dividir por la mitad la tira, las partes resultantes serán divisibles por 5. Por ejemplo, sì la tira inicial mide 15 cm, puede dividirse en tres partes iguales de 5 cm c/u pero la mitad de esa tira no.
Nos preguntamos en qué casos si obtendríamos una tira divisible otra vez por 5. Si la medida de la tira es a = b x 5, es decir una tira de una longitud de a cm, que se puede dividir en una cantidad b de tiras de 5 cm, la mitad de la tira será divisible por 5 en el caso de que b sea par.
Relacionamos la transitividad de la relación "ser múltiplo d"( "Si 5 es múltiplo de 15 y 15 múltiplo de 45, entonces 5 es múltiplo de 45" o "Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de be) con el "Para debatir" de la página 11 que habíamos trabajado en al clase anterior, ya que habíamos visto que:
Si el mcm (12, 15) es múltiplo de 12 y 12 es múltiplo del dcm (12,15), entonces el mcm (12,15) es múltiplo del dcm (12,15)
jueves, 24 de junio de 2010
Clase 69 - Cálculos y divisibilidad - 10 + Para debatir y 11 a y b
En la clase de ayer retomamos lo visto la clase pasada.
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...
Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60
Sólo faltaba agregar:
9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)
Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.
11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a
De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.
a. m.c.m. (a; b) = 1
Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.
Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1
b. m.c. m. (a; b) = a
a es múltiplo de a
a es múltiplo de b
b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...
o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).
Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...
Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60
Sólo faltaba agregar:
9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)
Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.
11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a
De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.
a. m.c.m. (a; b) = 1
Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.
Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1
b. m.c. m. (a; b) = a
a es múltiplo de a
a es múltiplo de b
b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...
o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).
Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)
martes, 22 de junio de 2010
Clases 66 y 67 - Cálculos y divisibilidad- 10 b + Para debatir
En la quinta hora trabajamos sobre el ejercicio 10b de la pág. 11 y un "Para debatir" que tiene anexo.
En el ejercicio 10 b vimos que el DCM (15, 12) es divisor del mcm (15, 12)...
En el "Para debatir" nos preguntabamos si siempre será así... ¿Siempre el DCM de dos números es divisor del mcm de esos mismos números?
Podemos usar letras para probarlo:
Queremos probar que:
"DCM (a,b) es divisor del mcm (a,b)"
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a
2 -DCM (a,b) es divisor de b
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas)
6- a es divisor de mcm (a,b)
7 - b es divisor de mcm (a,b)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)...
No llegamos a terminarlo.
En la sexta hora practicamos los ejercicios que traían de tarea ya que la mayor parte de ustedes no lo había traído hecho.
En el ejercicio 10 b vimos que el DCM (15, 12) es divisor del mcm (15, 12)...
En el "Para debatir" nos preguntabamos si siempre será así... ¿Siempre el DCM de dos números es divisor del mcm de esos mismos números?
Podemos usar letras para probarlo:
Queremos probar que:
"DCM (a,b) es divisor del mcm (a,b)"
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a
2 -DCM (a,b) es divisor de b
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas)
6- a es divisor de mcm (a,b)
7 - b es divisor de mcm (a,b)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)...
No llegamos a terminarlo.
En la sexta hora practicamos los ejercicios que traían de tarea ya que la mayor parte de ustedes no lo había traído hecho.
viernes, 18 de junio de 2010
Clase 65 - Cálculos y divisibilidad - 9 y 10
Repasamos la obtención del mcm y el DCM mediante la factorización.
REvisamos la tarea (ejercicios 9 y 10).
9. Encontrá el máximo común divisor entre:
a. 45 y 20:
45= 3 x 3 x 5
20= 2 x 2 x 5
DCM (45,20) = 5
b.25 y 35
25 = 5 x 5
35=5 x 7
10. a. Encontrá el DCM y el mcm entre 15 y 12
15 = 3 x 5
12 = 2 x 2 x 3
DCM (15,12) = 3
Empezamos a hacer y quedamos en terminar para la clase siguiente los ejercicios 19, 20 y 21.
19. Encontrá todos los divisores de 86.
20. Encontrá el m.c.m. entre:
-18 y 45
-24, 15 y 20
-7 y 13
-6 y 24
21. Encontrá el DCM entre:
-72, 64 y 48
-7 y 13
-6 y 24
REvisamos la tarea (ejercicios 9 y 10).
9. Encontrá el máximo común divisor entre:
a. 45 y 20:
45= 3 x 3 x 5
20= 2 x 2 x 5
DCM (45,20) = 5
b.25 y 35
25 = 5 x 5
35=5 x 7
10. a. Encontrá el DCM y el mcm entre 15 y 12
15 = 3 x 5
12 = 2 x 2 x 3
DCM (15,12) = 3
Empezamos a hacer y quedamos en terminar para la clase siguiente los ejercicios 19, 20 y 21.
19. Encontrá todos los divisores de 86.
20. Encontrá el m.c.m. entre:
-18 y 45
-24, 15 y 20
-7 y 13
-6 y 24
21. Encontrá el DCM entre:
-72, 64 y 48
-7 y 13
-6 y 24
miércoles, 16 de junio de 2010
Clase 64 - Cálculo y divisibilidad (d.c.m.) 8
Hoy trabajamos una técnica de obtención del d.c.m. (divisor común mayor) o m.c.d. (máximo común divisor), a través de la factorización.
Primero repasamos el modo en que veníamos calculando el d.c.m.
Si queríamos obtener el d.c.m. de 30 y 36, hacíamos la lista de los divisores de ambos números y ubicabamos cuál es el mayor que los dos tienen en común.
Divisores de 30:
Para obtener los divisores tenemos varios métodos.
Uno de ellos es descomponer el número en factores primos y luego encontrar todos los números del que es múltiplo 30
30 = 2 x 3 x 5
1 es divisor (lo es de todos los números)
2, 3 y 5 son los factorse o divisores primos.
2 x 3, 2 x 5, y 3 x 5 son divisores. Es decir, 6, 10 y 15
y tambien 2 x 3 x 5 = 30 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 36:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
1 es divisor (lo es de todos los números)
2 x 2, 2 x 3 y 3 x 3 son divisores. Es decir, 4, 6 y 9
2 x 2 x 3 y 2 x 3 x 3 son divisores. Es decir, 12 y 18
y también 2 x 2 x 3 x 3 = 36 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
El mayor de los divisores comunes es 6.
El método que vimos hoy consiste en lo siguiente:
Descomponer en factores primos el 30 y el 36
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3
y buscar el divisor o factor más grande que podemos armar con los divisores primos comunes. Se trata de 2 x 3 = 6
Para el viernes, hacemos de tarea: los ejercicios 9 y 10 de la página 11.
Primero repasamos el modo en que veníamos calculando el d.c.m.
Si queríamos obtener el d.c.m. de 30 y 36, hacíamos la lista de los divisores de ambos números y ubicabamos cuál es el mayor que los dos tienen en común.
Divisores de 30:
Para obtener los divisores tenemos varios métodos.
Uno de ellos es descomponer el número en factores primos y luego encontrar todos los números del que es múltiplo 30
30 = 2 x 3 x 5
1 es divisor (lo es de todos los números)
2, 3 y 5 son los factorse o divisores primos.
2 x 3, 2 x 5, y 3 x 5 son divisores. Es decir, 6, 10 y 15
y tambien 2 x 3 x 5 = 30 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 36:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
1 es divisor (lo es de todos los números)
2 x 2, 2 x 3 y 3 x 3 son divisores. Es decir, 4, 6 y 9
2 x 2 x 3 y 2 x 3 x 3 son divisores. Es decir, 12 y 18
y también 2 x 2 x 3 x 3 = 36 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
El mayor de los divisores comunes es 6.
El método que vimos hoy consiste en lo siguiente:
Descomponer en factores primos el 30 y el 36
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3
y buscar el divisor o factor más grande que podemos armar con los divisores primos comunes. Se trata de 2 x 3 = 6
Para el viernes, hacemos de tarea: los ejercicios 9 y 10 de la página 11.
martes, 15 de junio de 2010
Clase 63 - Cálculo y divisibilidad (m.c.m) 7
Explicamos un método para calcular el m.c.m. utilizando la descomposición en factores primos.
Por ejemplo de 12 y 30:
m.c.m.(12,30)
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Un número que sea múltiplo de 12 y 30 deberá contener tanto a 12 como a treinta.
m.c.m (12,30) = 12 x ....
m.c.m. (12,30) = 30 x ...
Entonces escribimos la factorización de ese m.c.m.
Tiene que tener los factores de 12 la misma cantidad de veces:
m.c.m (12,30) = 2 x 2 x 3 x ...
y le agregamos los factores que faltan de 30 (sólo un 5)
m.c.m. (12, 30) = 2 x 2 x 3 x 5
Para mañan de tarea hacer el ejercicio 7 de la página 11
Por ejemplo de 12 y 30:
m.c.m.(12,30)
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Un número que sea múltiplo de 12 y 30 deberá contener tanto a 12 como a treinta.
m.c.m (12,30) = 12 x ....
m.c.m. (12,30) = 30 x ...
Entonces escribimos la factorización de ese m.c.m.
Tiene que tener los factores de 12 la misma cantidad de veces:
m.c.m (12,30) = 2 x 2 x 3 x ...
y le agregamos los factores que faltan de 30 (sólo un 5)
m.c.m. (12, 30) = 2 x 2 x 3 x 5
Para mañan de tarea hacer el ejercicio 7 de la página 11
lunes, 14 de junio de 2010
Clases 61 y 62 - Estudiar más sobre la división - Cálculo y divisibilidad: 4, 5 y 6
Comenzamos revisando la tarea que partía del trabajo con la tabla de cociente y dividendo de la clase anterior.
¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1.000?
En la fila de los cocientes teníamos los números naturales, en la fila de los dividendos la suma de un múltiplo de 15 + 6.
El múltiplo de 15 más cercano a 1000 es 1005. Si le sumamos 6 obtenemos un dividendo posible para la cuenta. Para hallar el cociente respectivo tenemos que pensar por qué número tenemos que multiplicar a 15 para que nos dé 1005, ese número es 67. Entonces, para que el dividendo sea mayor que 1000, el cociente tiene que ser mayor o igual a 67.
Otra manera es dividir 1.000 por 15 en la calculadora. Nos da 66,6666... El cociente entero próximo es 67.
Luego de revisar la tarea, continuamos con los ejercicios que quedaban pendiente de cálculo y divisibilidad... Ejercicios 4, 5 y 6 de la página 10:
Ejercicio 4:
Primero tenés que decidir y sólo después hacer las cuentas para comprobar.
a. ¿Será cierto que con este dividendo la cuetna tiene resto 3?
dividendo: 9.765 x 9 + 3
divisor: 9
Respuesta:
(9.765 x 9 + 3) es un múltiplo de 9 al que se la ha sumado 3, es decir que si le restamos 3 tendremos un número divisible por 3. 9.765 x 9 : 9 dará resto 0. Si le sumamos 3, el resto al dividirlo por 3 será 3.
b. ¿Y con este otro, tien resto 2?
dividendo: 9 x 98.765 + 11
divisor: 9
En este caso, 11 no puede ser el resto, porque es mayor que el divisor. Pero si le restamos 9, sumamos 1 al cociente y nos queda 2 de resto.
5. Sin hacer las cuentas, ¿es posible saber si el resultado de cada cálculo se múltiplo de 7?
a. 7 x 12.345 + 5
No es múltiplo de 7 porque a un múltiplo de 7 (7 x 12.345) le suma un 5. Para llegar a otro múltiplo tendría que sumarle un 7 o un múltiplo de 7.
b. 7 x 12.345 + 21 En este caso si es múltiplo de 7 porque a un múltiplo le suma otro múltiplo de 7
c. 7 x 12.345 + 7. ídem anterior.
d. 7 x 12.345 + 9 No es múltiplo de 7 (le sobran 2)
Para revisar lo realizado:
. En cada cálculo del problema 5 que no da como resultado un múltiplo de 7, ¿es posible saber, sin hacer la cuenta, cuál va a ser el resto de dividir por 7 ese resultado?
a. En este caso van a sobrar 5 porque a un múltiplo de 7 se le suman menos de 7
b. Aquí el resto será 0 porque el dividendo es divisbile por 7
c. ídem anterior.
d. Como respondimos, sobran 2.
6. El número 35.064 es múltiplo de 9. Decídi sin hacer la cuenta, cuál es el rsto de dividir por 9 los siguientes números
a. 35.065 Es uno más que 36.064 el resto será 1.
b. 35.964 son 900 más que 35.064, 9 entra una cantidad de veces exactas en 35.064 y también 100 veces exactas en 900, entonces también tendrá resto 0 si se trata de la suma (35.064 +900).
c. 35.062 es dos menos que 35.064 entonces el resto será 7
d. 35.073 es 9 más. El resto será 0.
Para la clase siguiente había que hacer los ejercicios 14 y 15 de la página 14 de tarea.
¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1.000?
En la fila de los cocientes teníamos los números naturales, en la fila de los dividendos la suma de un múltiplo de 15 + 6.
El múltiplo de 15 más cercano a 1000 es 1005. Si le sumamos 6 obtenemos un dividendo posible para la cuenta. Para hallar el cociente respectivo tenemos que pensar por qué número tenemos que multiplicar a 15 para que nos dé 1005, ese número es 67. Entonces, para que el dividendo sea mayor que 1000, el cociente tiene que ser mayor o igual a 67.
Otra manera es dividir 1.000 por 15 en la calculadora. Nos da 66,6666... El cociente entero próximo es 67.
Luego de revisar la tarea, continuamos con los ejercicios que quedaban pendiente de cálculo y divisibilidad... Ejercicios 4, 5 y 6 de la página 10:
Ejercicio 4:
Primero tenés que decidir y sólo después hacer las cuentas para comprobar.
a. ¿Será cierto que con este dividendo la cuetna tiene resto 3?
dividendo: 9.765 x 9 + 3
divisor: 9
Respuesta:
(9.765 x 9 + 3) es un múltiplo de 9 al que se la ha sumado 3, es decir que si le restamos 3 tendremos un número divisible por 3. 9.765 x 9 : 9 dará resto 0. Si le sumamos 3, el resto al dividirlo por 3 será 3.
b. ¿Y con este otro, tien resto 2?
dividendo: 9 x 98.765 + 11
divisor: 9
En este caso, 11 no puede ser el resto, porque es mayor que el divisor. Pero si le restamos 9, sumamos 1 al cociente y nos queda 2 de resto.
5. Sin hacer las cuentas, ¿es posible saber si el resultado de cada cálculo se múltiplo de 7?
a. 7 x 12.345 + 5
No es múltiplo de 7 porque a un múltiplo de 7 (7 x 12.345) le suma un 5. Para llegar a otro múltiplo tendría que sumarle un 7 o un múltiplo de 7.
b. 7 x 12.345 + 21 En este caso si es múltiplo de 7 porque a un múltiplo le suma otro múltiplo de 7
c. 7 x 12.345 + 7. ídem anterior.
d. 7 x 12.345 + 9 No es múltiplo de 7 (le sobran 2)
Para revisar lo realizado:
. En cada cálculo del problema 5 que no da como resultado un múltiplo de 7, ¿es posible saber, sin hacer la cuenta, cuál va a ser el resto de dividir por 7 ese resultado?
a. En este caso van a sobrar 5 porque a un múltiplo de 7 se le suman menos de 7
b. Aquí el resto será 0 porque el dividendo es divisbile por 7
c. ídem anterior.
d. Como respondimos, sobran 2.
6. El número 35.064 es múltiplo de 9. Decídi sin hacer la cuenta, cuál es el rsto de dividir por 9 los siguientes números
a. 35.065 Es uno más que 36.064 el resto será 1.
b. 35.964 son 900 más que 35.064, 9 entra una cantidad de veces exactas en 35.064 y también 100 veces exactas en 900, entonces también tendrá resto 0 si se trata de la suma (35.064 +900).
c. 35.062 es dos menos que 35.064 entonces el resto será 7
d. 35.073 es 9 más. El resto será 0.
Para la clase siguiente había que hacer los ejercicios 14 y 15 de la página 14 de tarea.
viernes, 11 de junio de 2010
clase 60 - Problemas para pensar la cuenta de dividir
El viernes 11 de junio terminamos de corregir las tareas con los ejercicios que quedaron desde el lunes.
2. Completá la tabla
La fila a yla b ya la habíamos corregido.
a. Para hallar el cociente podemos hacer la división o podemos hallar una cuenta cercan donde el resto sea 0 (cero), variando el dividendo y eso lo podemos hacer restándole el resto al dividendo:
En lugar de 1600 de dividendo y 4 de resto, 1596 de dividendo y 0 de resto.
Ahora debemos hallar simplemente un número natural que multiplicado por 42 dé 1596. Lo podemos hacer dividiendo con la calculadora 1596 : 42
b. En este caso hay que hallar el resto
Se sugirió hacer la cuenta o, como por la cuenta sabíamos que 34 entra 26 veces en 909 pero sobra algo, directamente con calculadora hacer divisor x cociente y restárselo a 909. Es decir para hallar el resto podemos hacer:
resto = dividendo – divisor x cociente
c. En este caso hay que hallar el dividendo
En este caso multiplicamos divisor por cociente y le sumamos el resto.
d. En este caso hay que hallar el divisor
Sabemos que el 5 entra una cantidad de veces 189 pero sobran 4. Entonces entra una cantidad exacta de veces en 189-4, es decir 185. Para hallar la cantidad de veces podemos dividir 185:5 y hallamos el divisor que nos piden.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
Para completar la tabla usamos la “fórmula del dividendo”.
Dividendo = divisor x cociente + resto
Si el cociente era 1: 15 x 1 + 6 = 21
Si el cociente era 2: 15 x 2 + 6 = 36
Si el cociente era 3: 15 x 3 + 6 = 51
Si el cociente era 4: 15 x 4 + 6 = 66
Si el cociente era 5: 15 x 5 + 6 = 81
Si el cociente era 6: 15 x 6 + 6 = 96
Alguien propuso pensar que los dividendos hallados eran todos múltiplos de 15 + 6, es decir de 21.
Pero no es lo mismo 15 x 2 + 6 que (15 + 6) x 2.
Es decir no es lo mismo divisor x cociente + resto que (divisor + resto) x cociente
En realidad los dividendos eran todos múltiplos de 15 a los que se les había sumado 6, o números divisibles por 15 a los que se les había sumado 6
Otros encontraron otra regularidad:
Al sumar 2 en el cociente aumentaba 30 el dividendo.
Al sumar 1 en el cociente aumentaba 15 el dividendo
Para la próxima quedamos en responder las siguientes para esta tabla:
1. ¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sera mayor que 1.000
2. ¿Cuál es el mayor dividendo que querés encontrar?
3. Escribí un "método" que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle valores al cociente
2. Completá la tabla
| dividendo | divisor | cociente | resto |
| 1.600 | 42 | 4 | |
| 909 | 26 | 34 | |
| 15 | 12 | 10 | |
| 189 | 5 | 4 |
La fila a yla b ya la habíamos corregido.
a. Para hallar el cociente podemos hacer la división o podemos hallar una cuenta cercan donde el resto sea 0 (cero), variando el dividendo y eso lo podemos hacer restándole el resto al dividendo:
En lugar de 1600 de dividendo y 4 de resto, 1596 de dividendo y 0 de resto.
Ahora debemos hallar simplemente un número natural que multiplicado por 42 dé 1596. Lo podemos hacer dividiendo con la calculadora 1596 : 42
b. En este caso hay que hallar el resto
Se sugirió hacer la cuenta o, como por la cuenta sabíamos que 34 entra 26 veces en 909 pero sobra algo, directamente con calculadora hacer divisor x cociente y restárselo a 909. Es decir para hallar el resto podemos hacer:
resto = dividendo – divisor x cociente
c. En este caso hay que hallar el dividendo
En este caso multiplicamos divisor por cociente y le sumamos el resto.
d. En este caso hay que hallar el divisor
Sabemos que el 5 entra una cantidad de veces 189 pero sobran 4. Entonces entra una cantidad exacta de veces en 189-4, es decir 185. Para hallar la cantidad de veces podemos dividir 185:5 y hallamos el divisor que nos piden.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
| cociente | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| dividendo |
Para completar la tabla usamos la “fórmula del dividendo”.
Dividendo = divisor x cociente + resto
Si el cociente era 1: 15 x 1 + 6 = 21
Si el cociente era 2: 15 x 2 + 6 = 36
Si el cociente era 3: 15 x 3 + 6 = 51
Si el cociente era 4: 15 x 4 + 6 = 66
Si el cociente era 5: 15 x 5 + 6 = 81
Si el cociente era 6: 15 x 6 + 6 = 96
Alguien propuso pensar que los dividendos hallados eran todos múltiplos de 15 + 6, es decir de 21.
Pero no es lo mismo 15 x 2 + 6 que (15 + 6) x 2.
Es decir no es lo mismo divisor x cociente + resto que (divisor + resto) x cociente
En realidad los dividendos eran todos múltiplos de 15 a los que se les había sumado 6, o números divisibles por 15 a los que se les había sumado 6
Otros encontraron otra regularidad:
Al sumar 2 en el cociente aumentaba 30 el dividendo.
Al sumar 1 en el cociente aumentaba 15 el dividendo
Para la próxima quedamos en responder las siguientes para esta tabla:
1. ¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sera mayor que 1.000
2. ¿Cuál es el mayor dividendo que querés encontrar?
3. Escribí un "método" que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle valores al cociente
miércoles, 9 de junio de 2010
Clase 59 - Estudiar más sobre la división 1 y 2
La clase de hoy fue breve, es que tuvieron que terminar de copiar un pizarrón que les dejó la profesora de geografía.
Luego nos dio el tiempo para revisar un ejercicio que había quedado pendiente de la clase que tuvimos en la octava del lunes de esta semana.
Tenía dos partes.
En la primera habia que encontrar una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7.
Este ejercicio lo resolvieron fácil aplicando lo que algunos conocen como prueba de la división, y que nos recordó el otro día Joaquín que consiste en obtener el divididento multiplicando cociente por divisor y sumandole el resto
dividendo = divisor x cociente + resto
Si pensamos que esa cuenta sirve para resolver un reparto de caramelos entre niños podemos pensar que:
el divisor indica la cantidad de chicos a los que se repartió
el cociente la cantidad de caramelos que recibió cada uno
y el resto los caramelos que sobraron porque no se pudo seguir dando uno más a cada una.
Para reconstruir la cantidad de caramelos inicial se multiplica la cantidad de chicos (divisor) por la cantidad de caramelos que recibió cada uno (cociente) y luego se le suma los caramelos que quedaron. En este caso:
15 x 3 + 7 = 52. Este ejercicio tenía una sola solución
En el segundo caso teníamos que encontrar una cuenta con divisor 25 y resto 10.
Es decir, teníamos que encontrar un par de números que pudieron funcionar de dividendo y cociente, mientras el divisor fuera 25 y el resto 10.
Se discutió si podía ir cualquier número de cociente. Unos decían que se podía poner cualquier número en el cociente y de ahí obtener el dividendo. Otros decían que el cociente no puede ser cualquier número, que tenía que salir del dividendo y el divisor.
Resultó falsa la segunda opción.
Es posible poner cualquier número natural de cociente. Y luego aplicar la regla de la "prueba de la división" o "regla de Joaquín".
Otro manera posible de resolver es pensar una cuenta en la que el resto sea 0 y el divisor 25. En ese caso en el dividendo iría cualquier múltiplo de 25, y en el cociente el número por el que tenemos que multiplicar a 25 para que nos dé el dividendo. Una vez que tenemos esa cuenta de resto 0 la transformarmos en una de resto 10 sumándole 10 al dividendo.
Al final de la clase repertí una autoevaluación del primer trimestre que debían traer para el viernes.
Luego nos dio el tiempo para revisar un ejercicio que había quedado pendiente de la clase que tuvimos en la octava del lunes de esta semana.
Tenía dos partes.
En la primera habia que encontrar una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7.
Este ejercicio lo resolvieron fácil aplicando lo que algunos conocen como prueba de la división, y que nos recordó el otro día Joaquín que consiste en obtener el divididento multiplicando cociente por divisor y sumandole el resto
dividendo = divisor x cociente + resto
Si pensamos que esa cuenta sirve para resolver un reparto de caramelos entre niños podemos pensar que:
el divisor indica la cantidad de chicos a los que se repartió
el cociente la cantidad de caramelos que recibió cada uno
y el resto los caramelos que sobraron porque no se pudo seguir dando uno más a cada una.
Para reconstruir la cantidad de caramelos inicial se multiplica la cantidad de chicos (divisor) por la cantidad de caramelos que recibió cada uno (cociente) y luego se le suma los caramelos que quedaron. En este caso:
15 x 3 + 7 = 52. Este ejercicio tenía una sola solución
En el segundo caso teníamos que encontrar una cuenta con divisor 25 y resto 10.
Es decir, teníamos que encontrar un par de números que pudieron funcionar de dividendo y cociente, mientras el divisor fuera 25 y el resto 10.
Se discutió si podía ir cualquier número de cociente. Unos decían que se podía poner cualquier número en el cociente y de ahí obtener el dividendo. Otros decían que el cociente no puede ser cualquier número, que tenía que salir del dividendo y el divisor.
Resultó falsa la segunda opción.
Es posible poner cualquier número natural de cociente. Y luego aplicar la regla de la "prueba de la división" o "regla de Joaquín".
Otro manera posible de resolver es pensar una cuenta en la que el resto sea 0 y el divisor 25. En ese caso en el dividendo iría cualquier múltiplo de 25, y en el cociente el número por el que tenemos que multiplicar a 25 para que nos dé el dividendo. Una vez que tenemos esa cuenta de resto 0 la transformarmos en una de resto 10 sumándole 10 al dividendo.
Al final de la clase repertí una autoevaluación del primer trimestre que debían traer para el viernes.
lunes, 7 de junio de 2010
clases 56. 57 y 58. Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 5. 6. Problemas para pensar la cuenta de dividir 1, 2, 3 y 4
El lunes 7 terminamos de corregir los ejercicios 5 y 6 de la página 13.
5c. Todo número es divisor de sí mismo. V (Todo número entra 1 vez exacta en sí mismo) Todo número puede dividirse en forma exacta por sí mismo con resto 0 y cociente 1.
5d. Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6. Algunos dijeron que era cierto porque todo número divisible por 6 es múltiplo de 2 y de 3. Pero que esto sea cierto no quiere decir que si un número es múltiplo de 3, sea divisible por 6. Sólo algunos múltiplos de 3 son divisibles por 6. Si decimos la serie de los múltiplos de 3 (uno sí y uno no). 3 no, 6 sí, 9 no, etc...
Para probar que esto era falso bastaba dar un contraejemplo (es decir un ejemplo de lo contrario).
6 ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
Lo resolvieron haciendo la lista de múltiplos de ambos números:
30-60-90-120-150-180...
45-90-135-180...
El menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez es 180
Luego hicimos problemas que tenían que ver con el análisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. A partir de la siguiente cuenta de dividir, determiná cuál será el resto de cada una de las siguientes cuentas 114 : 5 , 115 : 5 y 116 : 5, pero sin hacerlas.
113 :5 da resto 3 y cociente 22
2. Marcá con una cruz la o las formas correctas de completar esta cuenta
(Se trataba de una cuenta donde el dividendo era 18 y el resto 2)
opciones:
divisor 9, resto 0. Correcto. 18:9 da resto 0 y cociente 2. El 9 entra dos veces exacta en 18.
9 x 12 + 0 = 18
divisor 7 resto 4. Correcto. 18:7 da resto 4 y cociente 2. El 7 entra dos veces en 18 y sobran 4
.7 x 2 + 4 = 18
divisor 5 resto 8. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor.
divisor 8 resto 2. Correcto. 18:8 da resto 2 y cociente 2. El 8 entra dos veces en 16 y sobran 2.
divisor 4 resto 10. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor
3. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
Nos daban una división donde el resto era 4 y el cociente 6.
Establecimos que el divisor debía ser mayor que 4. Es decir 5, 6, 7 ...
Si el divisor es 5, el dividendo será 5 x 6 + 4 = 34
Si el divisor es 6, el dividendo será 6 x 6 + 4 = 40
Si el divisor es 7, el dividendo será 7 x 6 + 4 = 46...
4. Jorge hizo la siguiente cuenta
165 dividido 7 cociente 23 resto 4
A partir de esta cuenta, buscá dos dividendos en los que, al dividir por 7, el resto sea 0.
1. Completá las siguientes divisiones:
divisor 15, cociente 3 y resto 7. ¿Hay una sola? Encontrá todas las que puedas
divisor 25 y resto 10 ídem
2. Completá la tabla
5c. Todo número es divisor de sí mismo. V (Todo número entra 1 vez exacta en sí mismo) Todo número puede dividirse en forma exacta por sí mismo con resto 0 y cociente 1.
5d. Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6. Algunos dijeron que era cierto porque todo número divisible por 6 es múltiplo de 2 y de 3. Pero que esto sea cierto no quiere decir que si un número es múltiplo de 3, sea divisible por 6. Sólo algunos múltiplos de 3 son divisibles por 6. Si decimos la serie de los múltiplos de 3 (uno sí y uno no). 3 no, 6 sí, 9 no, etc...
Para probar que esto era falso bastaba dar un contraejemplo (es decir un ejemplo de lo contrario).
6 ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
Lo resolvieron haciendo la lista de múltiplos de ambos números:
30-60-90-120-150-180...
45-90-135-180...
El menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez es 180
Luego hicimos problemas que tenían que ver con el análisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. A partir de la siguiente cuenta de dividir, determiná cuál será el resto de cada una de las siguientes cuentas 114 : 5 , 115 : 5 y 116 : 5, pero sin hacerlas.
113 :5 da resto 3 y cociente 22
Por ejemplo, si tuvieramos 113 caramelos para repartir entre 5 chicos podríamos darle 22 a cada uno y sobrarían 3
Si se agregara 1 caramelo tendríamos 114 para repartir en ese caso seguirían recibiendo 22 y sobrarían uno más: el resto sería 4
Si agregararmos 2 caramelos tendríamos 115 caramelos y en ese caso, no nos podrían sobrar 5 ya que alcanzaría para darle uno más a cada uno. El resto sería 0 (y el cociente 23).
El resto es siempre menor que el divisor.
2. Marcá con una cruz la o las formas correctas de completar esta cuenta
(Se trataba de una cuenta donde el dividendo era 18 y el resto 2)
opciones:
divisor 9, resto 0. Correcto. 18:9 da resto 0 y cociente 2. El 9 entra dos veces exacta en 18.
9 x 12 + 0 = 18
divisor 7 resto 4. Correcto. 18:7 da resto 4 y cociente 2. El 7 entra dos veces en 18 y sobran 4
.7 x 2 + 4 = 18
divisor 5 resto 8. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor.
divisor 8 resto 2. Correcto. 18:8 da resto 2 y cociente 2. El 8 entra dos veces en 16 y sobran 2.
divisor 4 resto 10. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor
3. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
Nos daban una división donde el resto era 4 y el cociente 6.
Establecimos que el divisor debía ser mayor que 4. Es decir 5, 6, 7 ...
Si el divisor es 5, el dividendo será 5 x 6 + 4 = 34
Si el divisor es 6, el dividendo será 6 x 6 + 4 = 40
Si el divisor es 7, el dividendo será 7 x 6 + 4 = 46...
4. Jorge hizo la siguiente cuenta
165 dividido 7 cociente 23 resto 4
A partir de esta cuenta, buscá dos dividendos en los que, al dividir por 7, el resto sea 0.
Para hallar el dividendo que dé resto 0 podemos restar el resto al dividendo actual y el cociente seguirá igual:
161 dividido 7 cociente 23 resto 0
o podemos sumar al dividendo lo que falta para volver a formar otro 7 o sea 3
168 dividido 7 cociente 24 resto 0
1. Completá las siguientes divisiones:
divisor 15, cociente 3 y resto 7. ¿Hay una sola? Encontrá todas las que puedas
divisor 25 y resto 10 ídem
2. Completá la tabla
| dividendo | divisor | cociente | resto |
| 1.600 | 42 | 4 | |
| 909 | 26 | 34 | |
| 15 | 12 | 10 | |
| 189 | 5 | 4 |
El martes 8 revisamos comenzamos a revisar este segundo ejercicio y en grupo empezamos a trabajar con otro.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
| cociente | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| dividendo |
viernes, 4 de junio de 2010
Clase 55 - Nümeros primos 4 y 5 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 5
Lo primero que hicimos fue repasar la diferencia entre número primo y número compuesto:
Dijimos los números naturales los podemos dividir en:
1) El número 1: tiene un solo divisor (1)
2) Los números primos: tiene sólo dos divisores. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37... (sólo se tienen a sí mismos y al 1 de divisor.
2) Los números compuestos tienen 3 ó mas divisores: 4 (2x2), 6 (3 x2), 8 (2 x 2 x 2), 9 (3x3), 10 (2 x 5), 12 (2 x 2 x 3), 14 (2 x 7), 15(3 x 5), 16 (2 x 2 x 2 x 2), 18 (2 x 3 x 2), 20 (2 x 2 x 5), 21 (3 x 7), 22 (2 x 11)...
Luego revisamos los ejercicios que teníamos de tarea.
El 5 de la página 12:
"Descomponé el 60 como una multiplicación de sus factores primos. ¿Es posible encontrar otra multiplicación distinto con números primos que dé 60?"
Revisamos los métodos que teníamos para descomponer números en factores primos.
Llegamos a una sola descomposición del 60
60= 2 x 2 x 3 x 5
Les mostré como se podía hacer un gráfico de la descomposición en factores primos para cada número y lo aplicamos a lo que hicimos en el ejercicio 1. En el eje horizonal ponemos la lista de los números primos y en el vertical las veces que se repite en la factorización.
Luego revisamos el ejercicio 5 de la página siguiente.
5. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a. Todos los números pares son compuestos. (F, porque hay un número par y compuesto: el 2)
b. Si un número es múltiplo de 7, entonces es mayor que 7. (Falso porque el 7 es múltiplo de sí mismo ya que 7 x 1 = 7 y el 0 es múltiplo de 7 (lo es de todos los números), ya que 7 x 0 = 0)
La próxima terminamos de revisar los puntos c y d.
Tarea: Ejecicios 6 y 7 de la página 13.
Dijimos los números naturales los podemos dividir en:
1) El número 1: tiene un solo divisor (1)
2) Los números primos: tiene sólo dos divisores. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37... (sólo se tienen a sí mismos y al 1 de divisor.
2) Los números compuestos tienen 3 ó mas divisores: 4 (2x2), 6 (3 x2), 8 (2 x 2 x 2), 9 (3x3), 10 (2 x 5), 12 (2 x 2 x 3), 14 (2 x 7), 15(3 x 5), 16 (2 x 2 x 2 x 2), 18 (2 x 3 x 2), 20 (2 x 2 x 5), 21 (3 x 7), 22 (2 x 11)...
Luego revisamos los ejercicios que teníamos de tarea.
El 5 de la página 12:
"Descomponé el 60 como una multiplicación de sus factores primos. ¿Es posible encontrar otra multiplicación distinto con números primos que dé 60?"
Revisamos los métodos que teníamos para descomponer números en factores primos.
Llegamos a una sola descomposición del 60
60= 2 x 2 x 3 x 5
Les mostré como se podía hacer un gráfico de la descomposición en factores primos para cada número y lo aplicamos a lo que hicimos en el ejercicio 1. En el eje horizonal ponemos la lista de los números primos y en el vertical las veces que se repite en la factorización.
Luego revisamos el ejercicio 5 de la página siguiente.
5. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a. Todos los números pares son compuestos. (F, porque hay un número par y compuesto: el 2)
b. Si un número es múltiplo de 7, entonces es mayor que 7. (Falso porque el 7 es múltiplo de sí mismo ya que 7 x 1 = 7 y el 0 es múltiplo de 7 (lo es de todos los números), ya que 7 x 0 = 0)
La próxima terminamos de revisar los puntos c y d.
Tarea: Ejecicios 6 y 7 de la página 13.
miércoles, 2 de junio de 2010
clase 54 - Números primos 2 y 3
Hoy retomamos los ejercicios 2 y 3 de la página 12.
El ejercicio 2 pedía hallar los divisores de 18, 24, 26 y 37
Repasamos los dos métodos que usamos para hallar divisores: el primero consistente en encontrar todas las multiplicaciones de dos números que dan el número dado. Por ejemplo para 24:
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6. Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
El otro método es encontrar todas las divisiones donde 24 es dividendo y dan resto 0. Los divisores de esas diviones son los divisores de 24:
24:1
24:2
24:3
24:4
24:6
24:8
24:12
24:24
Luego hicimos el ejercicio 3 buscando números que sólo tuvieran dos divisores, es decir números primos.
En los dos ejercicios anteriores encontramos bastantes.
En el ejercicio 1 los números que no se podía seguir descomponiendo en más factores, como 2, 3, 13. En el ejercicio 2 estaba el número 37.
Luego revisamos el ejercicio 2 para conectarlos con el 1.
En el primer ejercicio teníamos números que descompusimos en factores primos, y en el ejercicio 2 nos pedían encontrar los divisores de esos mismos números. Hay un tercer método para hallar los divisores de un número, en el que se usa la descomposición en factores primos.
Por ejemplo:
18 = 2 x 3 x 3
Primero el 1 es divisor (lo es de todos los números)
Segundo, cada factor es un divisor: 2 y 3
Tercero, los productos entre dos números son divisores: 2x3=6 y 3x3=9
y por último la múltiplicación de tres que es el mismo número: 18
Los mismo con 24
24 = 2 x 2 x 2 x 3
1 es divisor
2 y 3 son divisores
2 x 2 y 2 x 3 son divisores, o sea: 4 y 6
2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 3 son divisores, o sea 8 y 12
y 24 también es divisor.
También hicimos el ejercicio 4
Encontrá todos los números primos que están entre 1 y 25
Unos fueron viendo número por número cuántos divisores tenía. El que tiene 2 es primo. Los que tienen más que dos se llaman compuestos. El 1 no es ni primo ni compuesto.
Otra manera fue escribir los números del 1 al 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
ir sacando del medio los múltiplos de 2 (salvo al 2) porque no son primos tienen a 1 y a sí mismo y además a 2 como divisores
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Luego lo mismo con los múltiplos de 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los múltiplos de 4 ya estaban marcados porque son también múltiplos de 2. Seguimos con los múltiplos de 5 (faltaba el 25).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los de 6 ya estaban marcados porque son múltiplos de 2 y 3. Los de 7 en la serie, también, ya que eran 7 x 2 y 7 x 3...
Conclusión: los números primos entre 1 y 25 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Para el viernes va de tarea el ejercicio 5 de la página 12 y el ejercicio 5 de la página 13
El ejercicio 2 pedía hallar los divisores de 18, 24, 26 y 37
Repasamos los dos métodos que usamos para hallar divisores: el primero consistente en encontrar todas las multiplicaciones de dos números que dan el número dado. Por ejemplo para 24:
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6. Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
El otro método es encontrar todas las divisiones donde 24 es dividendo y dan resto 0. Los divisores de esas diviones son los divisores de 24:
24:1
24:2
24:3
24:4
24:6
24:8
24:12
24:24
Luego hicimos el ejercicio 3 buscando números que sólo tuvieran dos divisores, es decir números primos.
En los dos ejercicios anteriores encontramos bastantes.
En el ejercicio 1 los números que no se podía seguir descomponiendo en más factores, como 2, 3, 13. En el ejercicio 2 estaba el número 37.
Luego revisamos el ejercicio 2 para conectarlos con el 1.
En el primer ejercicio teníamos números que descompusimos en factores primos, y en el ejercicio 2 nos pedían encontrar los divisores de esos mismos números. Hay un tercer método para hallar los divisores de un número, en el que se usa la descomposición en factores primos.
Por ejemplo:
18 = 2 x 3 x 3
Primero el 1 es divisor (lo es de todos los números)
Segundo, cada factor es un divisor: 2 y 3
Tercero, los productos entre dos números son divisores: 2x3=6 y 3x3=9
y por último la múltiplicación de tres que es el mismo número: 18
Los mismo con 24
24 = 2 x 2 x 2 x 3
1 es divisor
2 y 3 son divisores
2 x 2 y 2 x 3 son divisores, o sea: 4 y 6
2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 3 son divisores, o sea 8 y 12
y 24 también es divisor.
También hicimos el ejercicio 4
Encontrá todos los números primos que están entre 1 y 25
Unos fueron viendo número por número cuántos divisores tenía. El que tiene 2 es primo. Los que tienen más que dos se llaman compuestos. El 1 no es ni primo ni compuesto.
Otra manera fue escribir los números del 1 al 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
ir sacando del medio los múltiplos de 2 (salvo al 2) porque no son primos tienen a 1 y a sí mismo y además a 2 como divisores
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Luego lo mismo con los múltiplos de 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los múltiplos de 4 ya estaban marcados porque son también múltiplos de 2. Seguimos con los múltiplos de 5 (faltaba el 25).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los de 6 ya estaban marcados porque son múltiplos de 2 y 3. Los de 7 en la serie, también, ya que eran 7 x 2 y 7 x 3...
Conclusión: los números primos entre 1 y 25 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Para el viernes va de tarea el ejercicio 5 de la página 12 y el ejercicio 5 de la página 13
martes, 1 de junio de 2010
Clase 53 - Números primos 1, 2 y 3
Números primos
Hoy trabajamos con los problemas 1, 2 y 3 de la página 12. En verdad no todos terminaron los tres, quedamos en revisarlos mañana.
1. Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad de factores, que den :
a. 18
b. 24
c. 26
Con 18 empezaron por cuentas que daban 18
18 x 1
9 x 2
6 x 3
y siguieron descomponiendo los que podían descomponer...
9 x 2 = 3 x 3 x 2 (y ya no se puede seguir a menos que agreguemos 1)
ó
6 x 3 = 2 x 3 x 3
Lo mismo con el 24
2 x 12 ó 3 x 8 ó 4 x 6
2 x 2 x 6 ó 3 x 2 x 4 ó 2 x 2 x 6
y finalmente llegan todos a 2 x 2 x 2 x 3
Con 26 solo se llega a un multiplicación de dos factores: 2 x 13 (el 13 no se puede seguir descomponiendo).
Los números que no se pueden seguir descomponiendo (excepto el 1) se llaman números primos en nuestro ejercicio son el 2, el 3, el 13.
2. Encontrá todos los divisores de:
a. 18
b. 24
c. 26
d.37
Mostré en el pizarrón dos maneras posibles de buscar todos los divisores de un número.
y verificando con todos los números del 1 al 18 sin son divisores de 18 (viendo que la división da resto 0
18:1= 18 1 es divisor de 18
18:2= 9 9 es divisor de 18
18:3=6 3 es divisor de 18
18:4 da resto 2 y cociente 4
18:5 da resto 3 y cociente 3
18:6= 3 6 es divisor de 18
18:7 da resto 4 y cociente 2
18:8 da resto 2 y cociente 2
18:9=2 9 es divisor de 18
... 9 entra dos veces en 2. Así que falta el que entra 1 vez exacta en 18 que es el mismo 18
18 es divisor de sí mismo
La otra forma es ver todas las divisiones posibles que den 18. Todos los números naturales que multiplicados unos con otros den 18 son factores o divisores de 18.
1 x 18 = 18
2 x 9 = 18
3 x 6 = 18
1, 2, 3, 6, 8 y 18 son factores de 18.
Quedó de tarea el ejercicio 3.
Encontrá 3 números que tengan sólo dos divisores.
Aclaré que esos números que tienen sólo dos divisores son los números primos.
Hoy trabajamos con los problemas 1, 2 y 3 de la página 12. En verdad no todos terminaron los tres, quedamos en revisarlos mañana.
1. Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad de factores, que den :
a. 18
b. 24
c. 26
Con 18 empezaron por cuentas que daban 18
18 x 1
9 x 2
6 x 3
y siguieron descomponiendo los que podían descomponer...
9 x 2 = 3 x 3 x 2 (y ya no se puede seguir a menos que agreguemos 1)
ó
6 x 3 = 2 x 3 x 3
Lo mismo con el 24
2 x 12 ó 3 x 8 ó 4 x 6
2 x 2 x 6 ó 3 x 2 x 4 ó 2 x 2 x 6
y finalmente llegan todos a 2 x 2 x 2 x 3
Con 26 solo se llega a un multiplicación de dos factores: 2 x 13 (el 13 no se puede seguir descomponiendo).
Los números que no se pueden seguir descomponiendo (excepto el 1) se llaman números primos en nuestro ejercicio son el 2, el 3, el 13.
2. Encontrá todos los divisores de:
a. 18
b. 24
c. 26
d.37
Mostré en el pizarrón dos maneras posibles de buscar todos los divisores de un número.
y verificando con todos los números del 1 al 18 sin son divisores de 18 (viendo que la división da resto 0
18:1= 18 1 es divisor de 18
18:2= 9 9 es divisor de 18
18:3=6 3 es divisor de 18
18:4 da resto 2 y cociente 4
18:5 da resto 3 y cociente 3
18:6= 3 6 es divisor de 18
18:7 da resto 4 y cociente 2
18:8 da resto 2 y cociente 2
18:9=2 9 es divisor de 18
... 9 entra dos veces en 2. Así que falta el que entra 1 vez exacta en 18 que es el mismo 18
18 es divisor de sí mismo
La otra forma es ver todas las divisiones posibles que den 18. Todos los números naturales que multiplicados unos con otros den 18 son factores o divisores de 18.
1 x 18 = 18
2 x 9 = 18
3 x 6 = 18
1, 2, 3, 6, 8 y 18 son factores de 18.
Quedó de tarea el ejercicio 3.
Encontrá 3 números que tengan sólo dos divisores.
Aclaré que esos números que tienen sólo dos divisores son los números primos.
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