Clase 69 - Cálculos y divisibilidad - 10 + Para debatir y 11 a y b

En la clase de ayer retomamos lo visto la clase pasada.
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...

Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:

Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60

Sólo faltaba agregar:

9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)

Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.

11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a

De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.

a. m.c.m. (a; b) = 1

Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.

Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1

b. m.c. m. (a; b) = a

a es múltiplo de a
a es múltiplo de b

b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...

o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).

Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)