Clases del viernes 12 y del lunes 15 (segunda hora)
7. ¿Cuáles son todos los valoes de m para que 3 x m + 9 sea un entero negativo?
Sabemos que un numero más su opuesto da 0, entonces
Si 3 x m + 9 diera 0, 3 x m sería igual a -9, pero como 3 x m + 9 tiene que ser menor que cero,
3 x m tiene que ser menor que -9. Y si 3 x m fuera igual a -9, m sería igual a -3, pero como es menor m tiene que ser menor que -3
m < -9 9. En cada caso, encuentren un número entero m para que valga la igualdad.
a. 8 + (2 x m - 6) = 10
Podemos ir reemplazano m por distintos números hasta hallar el resultado:
Si m = 2, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 2 - 6) = 8 + 4 -6 = 6
Si m = 3, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 3 - 6) = 8 + 6 -6 = 8
Si m = 4, entonces 8 + (2 x m - 6) = 8 + (2 x 4 - 6) = 8 + 8 -6 = 10
y así llegar al resultado
o podemos razonar lo siguiente:
Si 8 + (2 x m - 6) = 10, entonces 2 x m - 6 = 2 (Pensé cuál es el número que sumado a 8 da 10, cuál es la distancia entre 8 y 10, 10-8)
Si 2 x m - 6 = 2, entonces 2 x m = 8 (Pensé cuál es el número al que si le resto 6 me da 2, qué número está a distancia 6 de 2 hacia arriba, 2 + 6)
Si 2 x m = 8, entonces m = 4 (Pensé cuál es el número por el que tengo que multiplicar 2 para que me dé 8:2)
De igual manera pudimos pensar para los casos b y c
lunes, 15 de noviembre de 2010
miércoles, 10 de noviembre de 2010
Clases 129 a 136, Operaciones con números enteros, 1 a 5 Usar letras para analizar relaciones entre enteros II 1 a 5
Operaciones con números enteros
A través de los ejercicios 1 a 5 de la página 33 aprendimos lo siguiente:
Si en una suma algebraica (combinación de sumas y restas entre números enteros) un número negativo aperece sumándose se puede reemplazar por la resta de su opuesto.
Por ejemplo
4 + (-3) + 5 = 4 - 3 + 5
Si en una suma algebriaca un número negativo aparece restándose se puede reemplazar por la suma de su opuesta. Por ejemplo
5-(-8) + 1 = 5 + 8 + 1
En una multiplicación de muchos multiplicaciones realizamos las multiplicaciones como si no tuviéramos signos y después ponemos los signos asociando las multiplicaciones sabiendo que si los dos factores tienen el mismo signo el resultado es positivo y si dos factores tiene distinto signo el resultado es positivo.
Usar letras para analizar relaciones entre enteros II
1. Si 2 x m respresenta la multiplicación entre el 2 y un número entero cualquiera m, ¿cuánto deberá valer m para que el resultado sea mayor que 0? ¿Y para que sea menor que 0?
Antes de generalizar y validar generalizaciones exploramos la situación.
Probamos reemplazando m por números negativos y positivos.
2 x (-4) = -8
2 x 5 = 10
2 x (-7) = -14
2 x (45) = 90
Cuando reemplazamos por positivos el producto fue positivo y cuando reemplazamos por negativos, el producto fue positivo. Intentamos una explicación:
Se nos plantea que
2 x m > 0, por lo tanto tiene signo + el resultado, por lo tanto ambos factores tiene que tener el mismo signo, como 2 es positivo, m debe serlo también.
2. ¿Qué números enteros se le podrá asignar a la letra n. de manera que el resultado 3 x (-n) sea positivo?
En este caso explorando ocurrió lo contrario, cuando reemplazamos n por un negativo nos dio el resultado positivo y viceversa. Recordamos que la expresión (-n) significa "el opuesto de n".
3 x -(-8) = 3 x 24 = 72
3 x -9 = -27
Intentamos explicar.
3 x (-n) > 0, entonces (-n) > 0 porque tiene que tener el mismo signo que 3 porque el resultado es positivo.
Como (-n) > 0, su opuesto (n) <>a y b, de manera que a : b = -24
Lo primero que dijimos es que a y b tienen que tener distinto signo. a es el resultado de mulitplicar un número cualquiera b por -24.
Si b = 1, a = -24
Si b = 2, a = -48
Si b = 3, a = -72
...
y
Si b = -1, a = 24
Si b = -2, a = 48
Si b = -3, a = 72
...
4. Encontrá todos los valores posibles para los enteros a y b, de manera que a x b sea menor que 5, pero mayor que 0.
La primero que dijimos es que si 0 < a x b , a x b daría como resultado 1, 2, 3 ó 4.
Para a x b = 1:
a = 1; b = 1
a = -1; b = -1
Para a x b = 2:
a = 1; b = 2
a = -1; b = -2
a = 2; b = 1
a = -2; b = -1
Para a x b = 3:
a = 1; b = 3
a = -1; b = -3
a = 3; b = 1
a = -3; b = -1
Para a x b = 4:
a = 1; b = 4
a = -1; b = -4
a = 4; b = 1
a = -4; b = -1
a = 2; b = 2
a = -2; b = -2
5. Encontrá todos los valores posibles para los números enteros a y b, de manera que:
a. a x b > 4
b. a x b > 4
En ambos casos los resultados son infinitos porque hay infinitos números enteros tanto mayores como menores que 4.
A través de los ejercicios 1 a 5 de la página 33 aprendimos lo siguiente:
Si en una suma algebraica (combinación de sumas y restas entre números enteros) un número negativo aperece sumándose se puede reemplazar por la resta de su opuesto.
Por ejemplo
4 + (-3) + 5 = 4 - 3 + 5
Si en una suma algebriaca un número negativo aparece restándose se puede reemplazar por la suma de su opuesta. Por ejemplo
5-(-8) + 1 = 5 + 8 + 1
En una multiplicación de muchos multiplicaciones realizamos las multiplicaciones como si no tuviéramos signos y después ponemos los signos asociando las multiplicaciones sabiendo que si los dos factores tienen el mismo signo el resultado es positivo y si dos factores tiene distinto signo el resultado es positivo.
Usar letras para analizar relaciones entre enteros II
1. Si 2 x m respresenta la multiplicación entre el 2 y un número entero cualquiera m, ¿cuánto deberá valer m para que el resultado sea mayor que 0? ¿Y para que sea menor que 0?
Antes de generalizar y validar generalizaciones exploramos la situación.
Probamos reemplazando m por números negativos y positivos.
2 x (-4) = -8
2 x 5 = 10
2 x (-7) = -14
2 x (45) = 90
Cuando reemplazamos por positivos el producto fue positivo y cuando reemplazamos por negativos, el producto fue positivo. Intentamos una explicación:
Se nos plantea que
2 x m > 0, por lo tanto tiene signo + el resultado, por lo tanto ambos factores tiene que tener el mismo signo, como 2 es positivo, m debe serlo también.
2. ¿Qué números enteros se le podrá asignar a la letra n. de manera que el resultado 3 x (-n) sea positivo?
En este caso explorando ocurrió lo contrario, cuando reemplazamos n por un negativo nos dio el resultado positivo y viceversa. Recordamos que la expresión (-n) significa "el opuesto de n".
3 x -(-8) = 3 x 24 = 72
3 x -9 = -27
Intentamos explicar.
3 x (-n) > 0, entonces (-n) > 0 porque tiene que tener el mismo signo que 3 porque el resultado es positivo.
Como (-n) > 0, su opuesto (n) <>a y b, de manera que a : b = -24
Lo primero que dijimos es que a y b tienen que tener distinto signo. a es el resultado de mulitplicar un número cualquiera b por -24.
Si b = 1, a = -24
Si b = 2, a = -48
Si b = 3, a = -72
...
y
Si b = -1, a = 24
Si b = -2, a = 48
Si b = -3, a = 72
...
4. Encontrá todos los valores posibles para los enteros a y b, de manera que a x b sea menor que 5, pero mayor que 0.
La primero que dijimos es que si 0 < a x b , a x b daría como resultado 1, 2, 3 ó 4.
Para a x b = 1:
a = 1; b = 1
a = -1; b = -1
Para a x b = 2:
a = 1; b = 2
a = -1; b = -2
a = 2; b = 1
a = -2; b = -1
Para a x b = 3:
a = 1; b = 3
a = -1; b = -3
a = 3; b = 1
a = -3; b = -1
Para a x b = 4:
a = 1; b = 4
a = -1; b = -4
a = 4; b = 1
a = -4; b = -1
a = 2; b = 2
a = -2; b = -2
5. Encontrá todos los valores posibles para los números enteros a y b, de manera que:
a. a x b > 4
b. a x b > 4
En ambos casos los resultados son infinitos porque hay infinitos números enteros tanto mayores como menores que 4.
lunes, 1 de noviembre de 2010
Clases 126 a 128 - Repaso de operaciones con enteros (continuación)
Clases del 25 de octubre
Completamos la revisión de números enteros:
El conjunto de números enteros está formado por los números positivos (o naturales), el cero y los números negativos.
La distancia entre dos números es la cantidad de unidades que hay entre ellos. Se la puede calcular restandole al mayor el menor de ellos. Por ejemplo:
Si quiere calcular la distancia entre 45 y 98 puedo hacer 98 - 45 = 53
Si es la distancia entre -45 y -98, la calculo haciendo -45 - (-98).
Dos números son opuestos uno de otro si están a la misma distancia de cero (uno es positivo y el otro negativo).
Un nùmero es opuesto de otro si al sumarlos el resutlado es 0.
Un numero es opuesto de otro si es el resultado de multiplicarlo por (-1).
Sumar un positivo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + 5 = 4 - (- 5)
Sumar un negativo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + (-5) = 4 - 5
Restar un positivo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - 5 = 4 + (-5)
Restar un negativo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - (- 5) = 4 + 5
En los enteros se pueden realizar restar donde el minuendo es menor que el sustraendo.
La suma de dos enteros da negativa cuando se suma un positivo y un negativo y el negativo està más lejos del cero que el positivo, o bien cuando se suman dos negativos.
La resta de dos enteros da negativa cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de enteros da negativa cuando un factor es positivo y el otro negativo.
La divisiòn de enteros es negativa cuando o bien el dividendo y el divisor son de distinto signo.
La suma de dos enteros da positiva cuando se suman un positivo y un negativo y el negativo està más ce4ca del cero que el positivo o bien cuando se suman dos poisitovs.
La resta de dos enteros da positiva cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de dos enteros da positiva cuando los factores son de igual signo.
La división de enteros da positiva cuando divisor y dividendo son de igual signo.
Completamos la revisión de números enteros:
El conjunto de números enteros está formado por los números positivos (o naturales), el cero y los números negativos.
La distancia entre dos números es la cantidad de unidades que hay entre ellos. Se la puede calcular restandole al mayor el menor de ellos. Por ejemplo:
Si quiere calcular la distancia entre 45 y 98 puedo hacer 98 - 45 = 53
Si es la distancia entre -45 y -98, la calculo haciendo -45 - (-98).
Dos números son opuestos uno de otro si están a la misma distancia de cero (uno es positivo y el otro negativo).
Un nùmero es opuesto de otro si al sumarlos el resutlado es 0.
Un numero es opuesto de otro si es el resultado de multiplicarlo por (-1).
Sumar un positivo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + 5 = 4 - (- 5)
Sumar un negativo es lo mismo que restar su opuesto. 4 + (-5) = 4 - 5
Restar un positivo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - 5 = 4 + (-5)
Restar un negativo es lo mismo que sumar su opuesto. 4 - (- 5) = 4 + 5
En los enteros se pueden realizar restar donde el minuendo es menor que el sustraendo.
La suma de dos enteros da negativa cuando se suma un positivo y un negativo y el negativo està más lejos del cero que el positivo, o bien cuando se suman dos negativos.
La resta de dos enteros da negativa cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de enteros da negativa cuando un factor es positivo y el otro negativo.
La divisiòn de enteros es negativa cuando o bien el dividendo y el divisor son de distinto signo.
La suma de dos enteros da positiva cuando se suman un positivo y un negativo y el negativo està más ce4ca del cero que el positivo o bien cuando se suman dos poisitovs.
La resta de dos enteros da positiva cuando el minuendo es mayor que el sustraendo.
La multiplicaciòn de dos enteros da positiva cuando los factores son de igual signo.
La división de enteros da positiva cuando divisor y dividendo son de igual signo.
viernes, 22 de octubre de 2010
Clase 125 Números enteros. Repaso.
Hoy hicimos un repaso de lo visto hasta el momento de números enteros:
1. ¿Qué números forman el conjunto de los números enteros?
2. ¿Qué se entiende por la distancia entre dos números?
3. ¿Con qué operación podemos calcular la distancia entre dos números?
4. Explicá qué es el opuesto de un número usando el concepto de distancia.
5. Explicá qué es el opuesto de un número mediante la suma de enteros.
6. Explicá cómo obtener el opuesto de un número usando multiplicación.
7. ¿Cómo se representan la suma y resta de enteros en la recta numérica?
8. ¿Cómo se puede transformar una suma y resta de negativos en una operación entre positivos?
9. Qué tipo de restas son posibles entre los enteros que no eran posibles entre los naturales?´
10. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
11. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número positivo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
1. ¿Qué números forman el conjunto de los números enteros?
2. ¿Qué se entiende por la distancia entre dos números?
3. ¿Con qué operación podemos calcular la distancia entre dos números?
4. Explicá qué es el opuesto de un número usando el concepto de distancia.
5. Explicá qué es el opuesto de un número mediante la suma de enteros.
6. Explicá cómo obtener el opuesto de un número usando multiplicación.
7. ¿Cómo se representan la suma y resta de enteros en la recta numérica?
8. ¿Cómo se puede transformar una suma y resta de negativos en una operación entre positivos?
9. Qué tipo de restas son posibles entre los enteros que no eran posibles entre los naturales?´
10. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
11. ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número positivo? ¿Y la resta? ¿Y la multiplicación? ¿Y la división?
124: Multiplicación y división de números enteros 5, "Para revisar lo realizado"
5. Encontrá números enteros a y b que verifiquen que a : b = 4 ¿Cuántos pares hay?
En este caso teníamos que buscar para los dividendos (los números a) números divisibles por 4 ó múltiplos de 4.
es decir a = b x 4
y para obtener b a partir de a tenemos que hacer a : 4
Por ejemplo: Si a = 20, entonces b = 20 : 4 = 5, d modo que 20 : 5 = 4
b puede ser cualquier entero, dado que para obtener a tiene que darse b x 4.
Por lo tanto los pares de números son infinitos:
...
Si b = -4 ent. a = -16
Si b = -3 ent. a = -12
Si b = -2 ent. a = -8
Si b = -1 ent. a = -4
Si b = 0 ent. a = 0
Si b = 1 ent. a = 4
Si b = 2 ent. a = 8
Si b = 3 ent. a = 12
...
Para revisar lo realizado
- Si se multiplica un número por (-1), se obtiene su opuesto (V)
a . (-1) = -a
Por ejemplo
si a = -4, etonces a. (-1) = 4
Si a = 8, entonces a. (-1) = -8
- El resultado de dividir dos números negativos es negativo (F)
Si divido
(-48) : (-6) tengo que buscar un número que multiplicado por (-6) sea negativo, tengo que multiplicarlo por un positivo, asi que el resultado de la división es positivo sí o sí.
- Si a y b son números de distinto signo, el cociente a : b = siempre va a dar como resultado un número menor que 0. (V)
Es verdadero porque
Si a es negativo y b es positivo, entonces el cociente tiene que ser un número de distinto signo del positivo, es decir negativo para que la multiplicaciòn de positivo por negativo dé negativo. (el cociente multiplicado por el divisor da el dividendo)
Si a es positivo y b es negativo, entonces el cociente tiene que ser un número del mismo signo del negativo, para que la multiplicaciòn de negtaivo por negativo dé positivo.
En ambos casos el cociente es negativo, es decir, menor que 0-
En este caso teníamos que buscar para los dividendos (los números a) números divisibles por 4 ó múltiplos de 4.
es decir a = b x 4
y para obtener b a partir de a tenemos que hacer a : 4
Por ejemplo: Si a = 20, entonces b = 20 : 4 = 5, d modo que 20 : 5 = 4
b puede ser cualquier entero, dado que para obtener a tiene que darse b x 4.
Por lo tanto los pares de números son infinitos:
...
Si b = -4 ent. a = -16
Si b = -3 ent. a = -12
Si b = -2 ent. a = -8
Si b = -1 ent. a = -4
Si b = 0 ent. a = 0
Si b = 1 ent. a = 4
Si b = 2 ent. a = 8
Si b = 3 ent. a = 12
...
Para revisar lo realizado
- Si se multiplica un número por (-1), se obtiene su opuesto (V)
a . (-1) = -a
Por ejemplo
si a = -4, etonces a. (-1) = 4
Si a = 8, entonces a. (-1) = -8
- El resultado de dividir dos números negativos es negativo (F)
Si divido
(-48) : (-6) tengo que buscar un número que multiplicado por (-6) sea negativo, tengo que multiplicarlo por un positivo, asi que el resultado de la división es positivo sí o sí.
- Si a y b son números de distinto signo, el cociente a : b = siempre va a dar como resultado un número menor que 0. (V)
Es verdadero porque
Si a es negativo y b es positivo, entonces el cociente tiene que ser un número de distinto signo del positivo, es decir negativo para que la multiplicaciòn de positivo por negativo dé negativo. (el cociente multiplicado por el divisor da el dividendo)
Si a es positivo y b es negativo, entonces el cociente tiene que ser un número del mismo signo del negativo, para que la multiplicaciòn de negtaivo por negativo dé positivo.
En ambos casos el cociente es negativo, es decir, menor que 0-
martes, 19 de octubre de 2010
122 y 123. Multiplicación y división de números enteros 1 a 4
Ejercicios 1 a 3
Trabajamos con tablas donde los números de la segunda fila se obtenían multiplicando a los números de la primera siempre por el mismo factor.
A los de la primera fila los llamamos A
A los de la segunda fila los llamamos B
Ejercicio 1
B = A x (-2)
Ejercicio 2
Tuvimos que descubrir cuál era el número que multiplicado por A da B. Hacerlo es lo mismo que dividir B por A, de modo tal que
B : A = -7, así que B = A x (-7)
Ejercicio 3
Utilizamos una tabla de valores dada donde A x 9 = B para resolver multiplicaciones y divisones entre enteros
para eso tuvimos que tener en cuenta que
Si A x B = C
entonces C : A = B y C : B = A
Trabajamos con tablas donde los números de la segunda fila se obtenían multiplicando a los números de la primera siempre por el mismo factor.
A los de la primera fila los llamamos A
A los de la segunda fila los llamamos B
Ejercicio 1
B = A x (-2)
Ejercicio 2
Tuvimos que descubrir cuál era el número que multiplicado por A da B. Hacerlo es lo mismo que dividir B por A, de modo tal que
B : A = -7, así que B = A x (-7)
Ejercicio 3
Utilizamos una tabla de valores dada donde A x 9 = B para resolver multiplicaciones y divisones entre enteros
para eso tuvimos que tener en cuenta que
Si A x B = C
entonces C : A = B y C : B = A
119, 120 y 121. Multiplicación de números enteros
El 13, el 15 y el 18 de octubre (segunda hora) trabajamos con multiplicación de número enteros.
Ejercicio 1.
Vimos que sumar tres veces un número negativo es equivalente a multiplicarlo por tres.
-4 + (-4) + (-4) = -4 -4 -4 = (-4) x 3 = -12
Ejercicio 2
Si le multiplicas a un número positivo otro y te da negativo, el número por el que estás multiplicando es negativo
Si 4 veces 3 es 12, 4 veces -3 es -12
4 x (-3) = -12
Ejericio 3
Si le multiplicas a un número negativo otro y te da negativo, el número por el que multiplicaste es positivo
(-3) x 6 = 18
Ejercicios 4 y 5
El producto entres dos números enteros es negativo si los dos números tienen signos opuestos
El producto entre dos enteros es positivo si son del mismo signo.
Ejercicio 6 y 7
Multiplicaciones entre naturales que dan 24
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Son éstas 4 y las que resultan de cambiar el orden de los factores.
6 x 4; 3 x 8 etc.
Son 8 en total
Multiplicaciones entre números enteros que dan 24.
Son las 8 que vimos entre los positivos, más las que resultan de transformar en negativos todos los factores de esas ocho, dado que para que de positivo el resultado ambos factores deben dar negativo.
-1 x (-24) = 24
- 2 x (-12) = 24
-3 x (-8) = 24 ...
En total, son 16
Multiplicaciones entre números enteros que dan -24. Son 16 también. Basta con cambiarle el signo a las anteriores 16 multiplicaciones, para que haya uno con signo positivo y otro con signo negativos
Ejercicio 1.
Vimos que sumar tres veces un número negativo es equivalente a multiplicarlo por tres.
-4 + (-4) + (-4) = -4 -4 -4 = (-4) x 3 = -12
Ejercicio 2
Si le multiplicas a un número positivo otro y te da negativo, el número por el que estás multiplicando es negativo
Si 4 veces 3 es 12, 4 veces -3 es -12
4 x (-3) = -12
Ejericio 3
Si le multiplicas a un número negativo otro y te da negativo, el número por el que multiplicaste es positivo
(-3) x 6 = 18
Ejercicios 4 y 5
El producto entres dos números enteros es negativo si los dos números tienen signos opuestos
El producto entre dos enteros es positivo si son del mismo signo.
Ejercicio 6 y 7
Multiplicaciones entre naturales que dan 24
1 x 24 = 24
2 x 12 = 24
3 x 8 = 24
4 x 6 = 24
Son éstas 4 y las que resultan de cambiar el orden de los factores.
6 x 4; 3 x 8 etc.
Son 8 en total
Multiplicaciones entre números enteros que dan 24.
Son las 8 que vimos entre los positivos, más las que resultan de transformar en negativos todos los factores de esas ocho, dado que para que de positivo el resultado ambos factores deben dar negativo.
-1 x (-24) = 24
- 2 x (-12) = 24
-3 x (-8) = 24 ...
En total, son 16
Multiplicaciones entre números enteros que dan -24. Son 16 también. Basta con cambiarle el signo a las anteriores 16 multiplicaciones, para que haya uno con signo positivo y otro con signo negativos
117 y 118 Evaluación de sumas y restas con enteros, y autocorrección
El6 de octubre hicimos la evaluación de sumas y restas con enteros.
El 8 de octubre hicieron con Yanina la corrección de la evaluación.
El 8 de octubre hicieron con Yanina la corrección de la evaluación.
Clase 116. Sumas y restas con enteros 8 a 12
La clase del 5 de octubre completamos el repaso de sumas y restas con enteros, revisando los ejercicios de la página 27.
-cómo representar en la recta númerica sumas y restas con enteros.
--sumar un positivo es equivalente a restar un negativo,
--restar un positivo es equivalente a sumar un positivo
En general:
- sumar un entero es restar su opuesto
- restar un entero es sumar su opuesta
En letras
a + b = a - (-b)
a - b = a + (-b)
-cómo representar en la recta númerica sumas y restas con enteros.
--sumar un positivo es equivalente a restar un negativo,
--restar un positivo es equivalente a sumar un positivo
En general:
- sumar un entero es restar su opuesto
- restar un entero es sumar su opuesta
En letras
a + b = a - (-b)
a - b = a + (-b)
lunes, 4 de octubre de 2010
Clases 113, 114, y 115. Sumas y restas con enteros 1 a 7
El viernes 1 y el lunes 4 hicimos un repaso de sumas y restas con enteros, a partir de lo trabajado en la páginas 26 (ejercicios 1 a 7).
Revisamos:
- distancia entre dos números: cómo cálculo los números que están a una distancia dada de un determinado número y cómo calcular la distancia entre dos números.
-cómo calcular el resultado de una resta entre dos naturales donde el minuendo es menor que el sustraendo.
-cómo calcular la suma a un numero negativo de un natural.
-cuánto hay que sumarle a un entero para que el resultado sea 0
-cuánto hay que restarle a un entero para que el resultado sea 0.
-que es imposible al sumar dos positivos que el resultado sea negativo.
-que es posible que al sumar un positivo a un entero que el resultado sea negativos.
-que es posible al restar dos negativos que el resultado sea negativo.
-que entre los naturales las sumas equivalentes a un número son finitas, pero entre los enteros son infinitas.
Revisamos:
- distancia entre dos números: cómo cálculo los números que están a una distancia dada de un determinado número y cómo calcular la distancia entre dos números.
-cómo calcular el resultado de una resta entre dos naturales donde el minuendo es menor que el sustraendo.
-cómo calcular la suma a un numero negativo de un natural.
-cuánto hay que sumarle a un entero para que el resultado sea 0
-cuánto hay que restarle a un entero para que el resultado sea 0.
-que es imposible al sumar dos positivos que el resultado sea negativo.
-que es posible que al sumar un positivo a un entero que el resultado sea negativos.
-que es posible al restar dos negativos que el resultado sea negativo.
-que entre los naturales las sumas equivalentes a un número son finitas, pero entre los enteros son infinitas.
martes, 28 de septiembre de 2010
Clase 112. Para estudiar los primeros problemas del capítulo II. 19, 20 y 21
19. Decidí cuál de las siguientes opciones indica el conjunto de números que hacen verdadera al expresión n < 4.
a. n puede ser cualquier número natural.
Falso, naturales son todos los enteros positivos, es decir los mayores que 0, los números iguales o mayores a 4 no hacen verdadera la expresión. Solo los naturales menores que 4: 1, 2 y 3
b. n puede ser cualquier entero.
Falso, los positivos o naturales pueden ser entero, y ya probamos que no hacen verdadere la expreseión.
c. n puede ser cualqier entero negativo.
Verdadero, todos los negativos son menores que 4.
20. Encontrá un número entero m que al restarle 3 se obtenga un negativo. Si hay una respuesta única, indicá cuál es; si hay másde una, mencioná todos los números m que cumplan esa condición.
(similar al ejercio 5 de la pág. 28 que habíamos hecho ayer).
21. Encontrá, si es posible, números enteros a y b, de manera que se cumpla a + b <>
Es imposible que a y b sean los dos positivos, nunca entre los naturales si hacemos una suma, el resultado es menor que los sumandos.
El número que le tenemos que sumar a un positivo para que la suma de menor que él es un negativo, ya que por ejemplo 4 + (-5) puede ser pensado como la resta 4 - 5 = -1 (resultado menor que 4)
Si el número es negativo y le queremos sumar otro también tiene que ser negativo para que nos dé menor el resultado.
a. n puede ser cualquier número natural.
Falso, naturales son todos los enteros positivos, es decir los mayores que 0, los números iguales o mayores a 4 no hacen verdadera la expresión. Solo los naturales menores que 4: 1, 2 y 3
b. n puede ser cualquier entero.
Falso, los positivos o naturales pueden ser entero, y ya probamos que no hacen verdadere la expreseión.
c. n puede ser cualqier entero negativo.
Verdadero, todos los negativos son menores que 4.
20. Encontrá un número entero m que al restarle 3 se obtenga un negativo. Si hay una respuesta única, indicá cuál es; si hay másde una, mencioná todos los números m que cumplan esa condición.
(similar al ejercio 5 de la pág. 28 que habíamos hecho ayer).
21. Encontrá, si es posible, números enteros a y b, de manera que se cumpla a + b <>
Es imposible que a y b sean los dos positivos, nunca entre los naturales si hacemos una suma, el resultado es menor que los sumandos.
El número que le tenemos que sumar a un positivo para que la suma de menor que él es un negativo, ya que por ejemplo 4 + (-5) puede ser pensado como la resta 4 - 5 = -1 (resultado menor que 4)
Si el número es negativo y le queremos sumar otro también tiene que ser negativo para que nos dé menor el resultado.
Clase 111. Para estudiar los primeros problemas del capítulo II..17 y 18
8va hora del lunes 27
17. Encontrá, si es posible, un número que sumado a 6 dé un número menor que -3.
Vimos varios ejemplos, tenían que ser números que estuvieran a más de 6 a la izqueirda de -3, es decir a más de 9 a la izquierda de 0, es decir tenían que ser menores que -9.
18. Escribí 4 valores posibles para el número m que hagan verdadera la expresión
m > -11
Cualquier número mayor que -11 hace verdadera la expresión: -10, 28, -7, etc.
17. Encontrá, si es posible, un número que sumado a 6 dé un número menor que -3.
Vimos varios ejemplos, tenían que ser números que estuvieran a más de 6 a la izqueirda de -3, es decir a más de 9 a la izquierda de 0, es decir tenían que ser menores que -9.
18. Escribí 4 valores posibles para el número m que hagan verdadera la expresión
m > -11
Cualquier número mayor que -11 hace verdadera la expresión: -10, 28, -7, etc.
Clases 110. Usar letras para analizar relaciones entre enteros I. 5, 6 y 7.
lunes 27 de septiembre
5. Encontrá un número entero k de manera que al sumarle 5 el resultado sea negativo. Si hay una respuesta única indicá cuál es; si hay más de uan, mencioná cuáles son todos los números k que cumplen esa condición.
Encontramos varias soluciones, por ejemplo
-8, por que -8 + 5 = -3
-20, porque -20 + 5 = -15
Todos los números k que si les sumamos 5 son negativos (k + 5 <>k < -5
6. Encontrá, si es posible, un valor para el entero a, de manera que la resta a - a - a dé un número positivo. Si hay una única respuesta, indicá cuál es. Si hay más de una, mencioná todos los números a que cumplen esa condición.
Probamos con ejemplos.
Que pasa si a es positivo y que pasa si a es negativo
Si a es positivo, por ejemplo
8, a-a-a=8-8-8= 0-8= -8
Si a es negativo, por ejemplo
-7 = -7 - (-7)-(-7) = -7 + 7 + 7 = 0 +7 = 7
Pudimos generalizar a que si a -a -a = -a
y que si a es negativo entonces -a es positivo, y a-a-a también
Pero eso habria que probarlo
a-a -a = 0 -a = -a
7. Si m - 1 y n - 2 son números enteros, encontrá un valor para n y otro para m de manera que m - 1 sea menor que n- 2
Si m y n estaba a bastante distancia y m < n, era fácil encontrar ejemplos
por ejemplo m = -5 y n = 10
m-1 = -4
n-2 = 8
Pero no siempre que m < n, la solución era válida
Nos preguntamos a qué distancia tenían que estar m y n para que la solución fuera correcta
Probamos con
m = 4 y n = 8 . m y n estaban a 4 de distancia
m-1 = 3
n - 2 = 6. ok
Achicamos la distancia
m = 4 y n = 7
m-1 = 3
n - 2 = 5. ok
Y un poco más
m = 4 y n = 6
m-1 = 3
n - 2 = 4. ok
pero si estaban a 1 de distancia
m = 4 y n = 5
m-1 = 3
n - 2 = 3. ok
Vimos si podíamos probar para todos los casos que tenían que estar a 1 de distancia
Si la distancia entre m y n es 1.
m-1 está 2 unidades a la izquierda de n
y n-2 también está a dos unidades a la izquierda de n
por lo tanto m-1 = n-2.
5. Encontrá un número entero k de manera que al sumarle 5 el resultado sea negativo. Si hay una respuesta única indicá cuál es; si hay más de uan, mencioná cuáles son todos los números k que cumplen esa condición.
Encontramos varias soluciones, por ejemplo
-8, por que -8 + 5 = -3
-20, porque -20 + 5 = -15
Todos los números k que si les sumamos 5 son negativos (k + 5 <>k < -5
6. Encontrá, si es posible, un valor para el entero a, de manera que la resta a - a - a dé un número positivo. Si hay una única respuesta, indicá cuál es. Si hay más de una, mencioná todos los números a que cumplen esa condición.
Probamos con ejemplos.
Que pasa si a es positivo y que pasa si a es negativo
Si a es positivo, por ejemplo
8, a-a-a=8-8-8= 0-8= -8
Si a es negativo, por ejemplo
-7 = -7 - (-7)-(-7) = -7 + 7 + 7 = 0 +7 = 7
Pudimos generalizar a que si a -a -a = -a
y que si a es negativo entonces -a es positivo, y a-a-a también
Pero eso habria que probarlo
a-a -a = 0 -a = -a
7. Si m - 1 y n - 2 son números enteros, encontrá un valor para n y otro para m de manera que m - 1 sea menor que n- 2
Si m y n estaba a bastante distancia y m < n, era fácil encontrar ejemplos
por ejemplo m = -5 y n = 10
m-1 = -4
n-2 = 8
Pero no siempre que m < n, la solución era válida
Nos preguntamos a qué distancia tenían que estar m y n para que la solución fuera correcta
Probamos con
m = 4 y n = 8 . m y n estaban a 4 de distancia
m-1 = 3
n - 2 = 6. ok
Achicamos la distancia
m = 4 y n = 7
m-1 = 3
n - 2 = 5. ok
Y un poco más
m = 4 y n = 6
m-1 = 3
n - 2 = 4. ok
pero si estaban a 1 de distancia
m = 4 y n = 5
m-1 = 3
n - 2 = 3. ok
Vimos si podíamos probar para todos los casos que tenían que estar a 1 de distancia
Si la distancia entre m y n es 1.
m-1 está 2 unidades a la izquierda de n
y n-2 también está a dos unidades a la izquierda de n
por lo tanto m-1 = n-2.
viernes, 17 de septiembre de 2010
clase 107, 108, 109: Usar letras para analizar relaciones entre enteros I: 4
martes 14, viernes 17 y miércoles 22 de septiembre
Problema 3 (pág. 28)
Si a y b son enteros, y a < b, ¿es cierto que -a < - b?
Para resolver la pregunta pusimos a prueba lo que decía poniendo algunos ejemplos...
4 < 5: es falso que -4 < - 5
-10 < -2: es falso que 10 < 2
-10 < 5: es falso que 10 < - 5
Con algunos ejemplos podemos asegurar que no siempre que a y b son enteros, y a < b es cierto que -a < - b, ya que algunas veces no lo es.
Pero nosotros dijimos que nunca es cierto, porque dos números opuestos son números que están a la misma distancia de cero, y cuando son negativos es mayor el que está más cerca y menor el que está más lejos, pero entre los positivos o naturales pasa lo opuesto.
Asi que si a <> b
b) si a y b son negativos, como a es menor está más lejos de 0 que b, y -a está más lejos que -b de 0 y por lo tanto -a > -b
c) si a es negativo y b positivo, entonces -a es positivo y -b negativo, por lo tanto -a > -b
Por lo tanto:
Si a y b son enteros y a < b, -a > - b?
Problema 4
Si a y b son enteros, y a > b, encuentren en cada caso, si es posible, tres ejemplos de números enteros a y b, de manera que la expresión sea verdadera.
a. a + 1 <>
Hicimos una corrección equivocada de este ejercicio porque habíamos tomado que
a <>
Entonces buscamos tres ejemplos un número entero a que fuera menor que otro entero b
Si los números estaban bastante lejos a + 1 era menor que b - 1:
Por ejemplo
Si a = -10 y b= 8, entonces a + 1 = -9 y b- 1 = 7
Pero nos preguntamos si valía para todos los números.
Vimos que si estaban a 1 de distancia, no valía:
por ejemplo
si a = 4 y b = 5, entonces a + 1 = 5 y b-1= 4 así que a + 1 es mayor que b-1
Si estaban a 2 de distancia tampoco valía
si a = 4 y b = 6, entonces a + 1 = 5 y b-1 0 5, de modo que a + 1 = b- 1.
Llegamos a la conclusión de que a y b tenían que estar a por lo menos 3 de distancia.
Por ejemplo
a = 4 y b= 7
Después nos dimos cuenta que en el ejercicio se partía de que a > b
Teníamos que buscar un número a mayor que b y agrandar a en uno y b achicarlo también en 1 y que se invirtiera la relación. Es imposible hacerlo ya que de esa manera se agranda la distancia en entre los dos números. Por ejemplo si a es 4 y b es -1, a y b están a 5 de distancia, si hacemos más grande a y más chico b, la distancia aumenta en 7. a + 1 siempre es más grande que b-1 si a es mayor que b.
b. a - 1 <> b + 1. En este caso los número tiene que estar a tres de distancia por lo menos, por ejemplo
a = 7 y b = 2, entonces a-1=6 y b+1= 3,
pero si están a menos de 3
por ejemplo
a= 7 y b = 5, entonces a-1=6 y b+1= 6...
Al final de la clase del miércoles 22, hicimos individualmente el ejercicio 5, falta corregirlo entre todos.
Problema 3 (pág. 28)
Si a y b son enteros, y a < b, ¿es cierto que -a < - b?
Para resolver la pregunta pusimos a prueba lo que decía poniendo algunos ejemplos...
4 < 5: es falso que -4 < - 5
-10 < -2: es falso que 10 < 2
-10 < 5: es falso que 10 < - 5
Con algunos ejemplos podemos asegurar que no siempre que a y b son enteros, y a < b es cierto que -a < - b, ya que algunas veces no lo es.
Pero nosotros dijimos que nunca es cierto, porque dos números opuestos son números que están a la misma distancia de cero, y cuando son negativos es mayor el que está más cerca y menor el que está más lejos, pero entre los positivos o naturales pasa lo opuesto.
Asi que si a <> b
b) si a y b son negativos, como a es menor está más lejos de 0 que b, y -a está más lejos que -b de 0 y por lo tanto -a > -b
c) si a es negativo y b positivo, entonces -a es positivo y -b negativo, por lo tanto -a > -b
Por lo tanto:
Si a y b son enteros y a < b, -a > - b?
Problema 4
Si a y b son enteros, y a > b, encuentren en cada caso, si es posible, tres ejemplos de números enteros a y b, de manera que la expresión sea verdadera.
a. a + 1 <>
Hicimos una corrección equivocada de este ejercicio porque habíamos tomado que
a <>
Entonces buscamos tres ejemplos un número entero a que fuera menor que otro entero b
Si los números estaban bastante lejos a + 1 era menor que b - 1:
Por ejemplo
Si a = -10 y b= 8, entonces a + 1 = -9 y b- 1 = 7
Pero nos preguntamos si valía para todos los números.
Vimos que si estaban a 1 de distancia, no valía:
por ejemplo
si a = 4 y b = 5, entonces a + 1 = 5 y b-1= 4 así que a + 1 es mayor que b-1
Si estaban a 2 de distancia tampoco valía
si a = 4 y b = 6, entonces a + 1 = 5 y b-1 0 5, de modo que a + 1 = b- 1.
Llegamos a la conclusión de que a y b tenían que estar a por lo menos 3 de distancia.
Por ejemplo
a = 4 y b= 7
Después nos dimos cuenta que en el ejercicio se partía de que a > b
Teníamos que buscar un número a mayor que b y agrandar a en uno y b achicarlo también en 1 y que se invirtiera la relación. Es imposible hacerlo ya que de esa manera se agranda la distancia en entre los dos números. Por ejemplo si a es 4 y b es -1, a y b están a 5 de distancia, si hacemos más grande a y más chico b, la distancia aumenta en 7. a + 1 siempre es más grande que b-1 si a es mayor que b.
b. a - 1 <> b + 1. En este caso los número tiene que estar a tres de distancia por lo menos, por ejemplo
a = 7 y b = 2, entonces a-1=6 y b+1= 3,
pero si están a menos de 3
por ejemplo
a= 7 y b = 5, entonces a-1=6 y b+1= 6...
Al final de la clase del miércoles 22, hicimos individualmente el ejercicio 5, falta corregirlo entre todos.
clase 105 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II - 11 a 13
lunes 13 de septiembre
revisamos ejercicios 11 a 13, pág. 29
11. Se sabe que el entero k es mayor que 7. ¿Puede asegurarse que todos los números que están a distancia 5 de k son naturales?
Seguro que son todos naturales los que están a distancia 5 de k, porque si por ejemplo
k = 8 los que están a distancia 5 de k serán k-5 = 3 y k+5 = 13, si aumento k, aumentarán k - 5 y k - 5 que seguirán dando resultado dentro de los naturales
12. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que uno de los números que está a distancia 5 de k sea negativo?
El número negativo mayor que podría estar a distancia 5 de k es -1. En ese caso k sería igual a 4, por lo tanto k debe ser mayor o igual a 4 para que uno de los números que esté a distancia 5 de k sea negativo.
13. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos?
En este caso tanto k + 5 como k - 5 deben ser negativos, por lo tanto k también.
El valor máximo que puede tomar k + 5 es -1, en ese caso k será -6
K debe ser menor o igual a -6 para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos
revisamos ejercicios 11 a 13, pág. 29
11. Se sabe que el entero k es mayor que 7. ¿Puede asegurarse que todos los números que están a distancia 5 de k son naturales?
Seguro que son todos naturales los que están a distancia 5 de k, porque si por ejemplo
k = 8 los que están a distancia 5 de k serán k-5 = 3 y k+5 = 13, si aumento k, aumentarán k - 5 y k - 5 que seguirán dando resultado dentro de los naturales
12. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que uno de los números que está a distancia 5 de k sea negativo?
El número negativo mayor que podría estar a distancia 5 de k es -1. En ese caso k sería igual a 4, por lo tanto k debe ser mayor o igual a 4 para que uno de los números que esté a distancia 5 de k sea negativo.
13. ¿Qué valores puede tomar el entero k para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos?
En este caso tanto k + 5 como k - 5 deben ser negativos, por lo tanto k también.
El valor máximo que puede tomar k + 5 es -1, en ese caso k será -6
K debe ser menor o igual a -6 para que los dos números que están a distancia 5 de k sean negativos
viernes, 10 de septiembre de 2010
clase 103 . Usar letras para analizar relaciones entre enteros I : 2 y Para estudiar ls primeros problemas del capítulo II . 10
Quinta hora del martes 7
Hicimos hasta el ejercicio 2 de la página 28.
2. Si m-1 es un número entero, asignale tres valores a m para que m - 1 sea positivo.
m - 1 puede tomar como valor mínimo 1, por lo tanto m deberá ser igual o menor a 2
Tres valores posibles son 2, 10, 24
Puesta en común del ejercicio 10 de la página 29
10. Se sabe que el número entero k es menor que 0. ¿Se puede asegurar que el opuesto de k es un natural?
Si k es menor que 0, es negativo, los opuestos de los negativos son positivos, por lo tanto sí se puede asegura que el opuesto de k (negativo) es un natural (positivo).
Hicimos hasta el ejercicio 2 de la página 28.
2. Si m-1 es un número entero, asignale tres valores a m para que m - 1 sea positivo.
m - 1 puede tomar como valor mínimo 1, por lo tanto m deberá ser igual o menor a 2
Tres valores posibles son 2, 10, 24
Puesta en común del ejercicio 10 de la página 29
10. Se sabe que el número entero k es menor que 0. ¿Se puede asegurar que el opuesto de k es un natural?
Si k es menor que 0, es negativo, los opuestos de los negativos son positivos, por lo tanto sí se puede asegura que el opuesto de k (negativo) es un natural (positivo).
Clase 102,
8va hora del lunes 6
Llegamos hasta el ejercicio 1a de la página 28
En una recta númerica están ubicados el 0, el 1 y el número n.
Nos pedían ubicar:
a) el n +1 : había que ubicarlo a la derecha de n a la misma distancia que el 0 del 1
Llegamos hasta el ejercicio 1a de la página 28
En una recta númerica están ubicados el 0, el 1 y el número n.
Nos pedían ubicar:
a) el n +1 : había que ubicarlo a la derecha de n a la misma distancia que el 0 del 1
lunes, 6 de septiembre de 2010
Clase 101 - Sumas y restas con números enteros . 12 y Para debatir
2a hora del 6 de septiembre
Pusimos en común el ejercicio 12 de la página 27.
12. ¿Qué resultado se obtiene en cada cálculo?
a. 3 + (-9) = 3 -9 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
3-9 = -6
b. -8 -(-11) = -8 + 11 (restar un negativo es como restar su opuesto)
-8 + 11 = 11 + (-8) (conmutatividad de la suma)
11+ (-8) = 11-8 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
11-8 = 3
c. -5 + 38 = 38 + (-5) = 38 - 5 = 33
d. -17 - ( - 21) = -17 + 21 = 21-17 = 4
e. 31 + (-15) = 31 - 15 = 16
f. -16 - ( - 16) = -16 + 16 = 0
Para debatir
* El resultado de una suma en la que intervienen números enteros, ¿puede ser menor que alguno de los sumandos? ¿Y que los dos sumandos?
Para responder esta pregunta exploramos las sumas que habiamos hecho en los ejercicios anteriores y encontramos que, a diferencia de los números naturales, el resultado de una suma de enteros puede ser menor que uno o dos de los sumandos.
Por ejemplo:
4 + (-3) = 1 El resultado es menor que uno de los sumandos (4)
-4 - (-5) = - 9 El resultado es menor que los dos sumandos.
* ¿Qué número se podrá sumar al entero a para obtener como resultado el número -a?
Para resolver esto empezamos a explorar con algunos ejemplso
Por ejemplo si a = 5, -a = -5, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es -10
a = -4, -a = 4, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es 8
Pusimos en común el ejercicio 12 de la página 27.
12. ¿Qué resultado se obtiene en cada cálculo?
a. 3 + (-9) = 3 -9 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
3-9 = -6
b. -8 -(-11) = -8 + 11 (restar un negativo es como restar su opuesto)
-8 + 11 = 11 + (-8) (conmutatividad de la suma)
11+ (-8) = 11-8 (sumar un negativo es como restar su opuesto)
11-8 = 3
c. -5 + 38 = 38 + (-5) = 38 - 5 = 33
d. -17 - ( - 21) = -17 + 21 = 21-17 = 4
e. 31 + (-15) = 31 - 15 = 16
f. -16 - ( - 16) = -16 + 16 = 0
Para debatir
* El resultado de una suma en la que intervienen números enteros, ¿puede ser menor que alguno de los sumandos? ¿Y que los dos sumandos?
Para responder esta pregunta exploramos las sumas que habiamos hecho en los ejercicios anteriores y encontramos que, a diferencia de los números naturales, el resultado de una suma de enteros puede ser menor que uno o dos de los sumandos.
Por ejemplo:
4 + (-3) = 1 El resultado es menor que uno de los sumandos (4)
-4 - (-5) = - 9 El resultado es menor que los dos sumandos.
* ¿Qué número se podrá sumar al entero a para obtener como resultado el número -a?
Para resolver esto empezamos a explorar con algunos ejemplso
Por ejemplo si a = 5, -a = -5, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es -10
a = -4, -a = 4, el número que hay que sumarla a a para que te dé -a es 8
Clase 99 y 100 - Sumas y restas con números enteros
Clase del miércoles 1 de septiembre
Algunos completaron la prueba otras avanzaron con los ejercicios de la página 11.
Clase del viernes 3 de septiembre
El profe falto hicierno ejercicios cno Yanina
Algunos completaron la prueba otras avanzaron con los ejercicios de la página 11.
Clase del viernes 3 de septiembre
El profe falto hicierno ejercicios cno Yanina
martes, 31 de agosto de 2010
lunes, 30 de agosto de 2010
Clases 96 y 97 - sumas y restas con números enteros. 7 a 11
Comenzamos la clase retomando el ejercicio 7 de la página 26.
Si m y n son naturales y m + n = 6, el procedimiento que encontramos para dado un m encontrar un n era n = 6 - m.
Si m y n son enteros y m+ n = 6, el procedimiento que encontramos para dado un m encontrar n era n = -m + 6
Vimos también que en este caso podíamos también hacer 6 - m...
Por ejemplo
Si m = -4
Podemos hallar n encontrando el opuesto de -4 (4) y sumandole 6 (10) ó restar 6 -(-4) = 6 + 4
En los ejercicios 8 y 9 vimos como podíamos usar la recta numérica para pensar sumas y restas con enteros.
Terminamos la clase poniéndo en común los ejercicios 10 y 11
Clase 95 . Sumas y restas con números enteros. Para debatir. 7
Clase del viernes 27 de agosto
La suma de un un número entero y su opuesto es siempre cero. (Ver ejercicio 3)
¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo?
Les explique en el pizarrón un modo de resolverlo.
Pensamos en un ejemplo:
Si
- 5 + 5 = 0
para que al sumarle a -5 un número dé negativo habrá que sumarle un número menor que 5.
por ejemplo:
-5 + 4 = -1
o
Si
7 + (-7) = 0
entonces
para que dé negativo deberé sumarle un número menor que -7, por ejemplo:
7 + (-10) = -3.
La suma de dos enteros da número negativo cuando a un entero le sumamos un número menor que su opuesto
¿En qué condiciones la resta de dos enteros da un número negativo.
Partimos pensando quela resta de un número por sí mismo da cero.
POr ejemplo
7-7 = O ó (-8) - (-8) = -8 + 8 = 0
Si esto es así para que dé negativo deberemos restarle un número mayor que él mismo
7- 8 = -1 ó (-8) - (-6) = (-8) + 6 = -2.
La resta de dos enteros da cero cuando a un número entero le restamos un número mayor que él mismo.
7. Encontrá números naturales para n y para n, de manera que m + n = 6. ¿Cuántas respuestas es posible encontrar? ¿Y si fueran enteros?
Para el caso de ser números naturales, encontramos 5 sumas:
Si m= 1, entonces n = 5
Si m = 2, entonces n = 4
Si m = 3, entonces n = 3
Si m = 4, entonces n = 2
Si m = 4, entonces n = 1
Para encontrar n hacemos 6-m, es decir n = 6 - m
Para el caso de ser enteros, las posiblidades son infinitas
Si m = - 100, entonces n = 106
Si m = - 50, entonces n = 56
Si m = 3, entonces n = 3
Si m = 10, entonces n = -4
Héctor se dio cuenta de que en este caso n es igual al opuesto de m + 6, es decir
n= -m + 6
miércoles, 25 de agosto de 2010
Clases 93 y 94. Sumas y restas números enteros. 5, 6 y "Para debatir"
Clase del lunes 23 de agosto.
Problema 5 (pág. 26)
María dice que resta dos números negativos y el resultado es 10. ¿Es posible esto? Si la respuesta es no, explicá por qué, y si es sí, proponé un ejemplo.
Restas entre negativos entre negativos que dan 10
(-20) - (-30) = 10
(-40) - (-50) = 10
(-70) - (-80) = 10
(-50) - (-60) = 10
(-90) - (-100) = 10
(-70) - (-80) = 10
Problema 6. Completá con el número que hay que restar en cada caso para obtener 0. Podés usar una recta numérica.
a. 8 - 8 = 0
b. -2 - (-2) = 0
c. 4 - 4 = 0
d. -7 - (-7) = 0
Para debatir
Problema 5 (pág. 26)
María dice que resta dos números negativos y el resultado es 10. ¿Es posible esto? Si la respuesta es no, explicá por qué, y si es sí, proponé un ejemplo.
Restas entre negativos entre negativos que dan 10
(-20) - (-30) = 10
(-40) - (-50) = 10
(-70) - (-80) = 10
(-50) - (-60) = 10
(-90) - (-100) = 10
(-70) - (-80) = 10
Problema 6. Completá con el número que hay que restar en cada caso para obtener 0. Podés usar una recta numérica.
a. 8 - 8 = 0
b. -2 - (-2) = 0
c. 4 - 4 = 0
d. -7 - (-7) = 0
Para debatir
- ¿Será cierto que la suma de un número entero y su opuesto siempre es cero? Sí... lo vimos en el ejercicio 3.
- ¿En qué condiciones la suma de dos enteros da un número negativo?
- ¿En qué condiciones las resta de dos enteros da un número negativo?
domingo, 22 de agosto de 2010
Clase 92. Sumas y restas con números enteros. 4 b y 5
4.b. ¿Es posible encontrar un número entero que al sumarle 4 al resultado sea un número negativo?
Si a un número que negativo que está a una distancia mayor que 4 de 0 (es decir, que es menor que -4) le sumamos 4, nos va a dar negativo (menor que 0).
5. María dice que resta dos números negativos y el resultado es 10. ¿Es posible esto? Si la respuesta es no, explicá por qué, y sí es sí, proponé un ejemplo.
Lo que estuvimos trabajando con esto es qué significa restar un número negativo.
Para ayudarlos a explorar les pedí que inventaran restas entre números negativos y buscaran con la calculadora los resultados.
Por ejemplo
(-4) - (-6) = 2
(-10) - (-5) = -5
(-7) - (-5) = -2
Lo que descubrimos es que restar un número negativo es lo mismo que sumar su opuesto, cosa que podemos generalizar para todos los negativos.
Da el mismo resultado (-4) - (-6) que (-4) + 6
Pero también (-4) - 6 da lo mismo que (-4) + (-6).
martes, 17 de agosto de 2010
Clase 91 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II - 9. Sumas y restas con números enteros 3 y 4a
Comenzamos la clase de hoy revissando el ejercicio 9 de la página 29
9. a. Encontrá todos los números que estén a distancia 8 de 24
9. b. Encontrá todos los números que estén a distancia 11 de 7.
9. c. Encontrá todos los números que estén a distancia 4 de -3.
Establecimos que para resolver este ejercicio había sumar y restar la distancia al número dado
9.a. 24 + 8 y 24 - 8. Era sencillo se trataba de números naturales con el resultado en naturales.
9. b. 7 + 11 y 7 - 11. En este caso como en la resta el minuendo era menor que el sustraendo el resultado es negativo.
Para pensar 7 - 11, pensamos que de 7 a 0 hay 7 y de los 11 hay que restar todavía 11-7, es decir 4, y el número que está a distancia 4 de 0 es - 4.
9. c. En este caso el número dado era -3.
-3 - 4 es un numero que está a 7 de cero, es decir -7
y -3 + 4 = 1
Luego volvimos a la página de sumas y restas
Revisamos el ejercicio 3 (página 26).
Eran sumas entre enteros que sumaban 0, donde había que completar uno de los sumandos. REgistramos en la carpeta:
- si a un negativo le sumas su opuesto da 0
- si a un positivo le sumas su opuesto da 0
por lo tanto , si a un entero le sumás su opuesto da o.
Luego trabajamos el ejercicio 4a.
¿Es posible encontrar un número natural que al sumarle 4 dé un número negativo?
Exploramos disintas sumas de la forma n+ 4 y todas nos daban naturales. ES que como ya sabíamos la suma entre naturales siempre da otro natural.
Quedo pendiente la pregunta 4 b:
¿Es posible encontrar un número entero que al sumarle 4 el resultado sea un número negativo?
clase 90 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo II
El viernes 13 revisamos los ejercicios de la página 29: 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Clase 89 - Comparar y ordenar números enteros II - 10 . Sumar y restar con números enteros . 1 a 3
El miércoles 11 trabajamos con el último ejercicio de la página 25 (Comparar y ordenar números enteros II) y empezamos a trabajar sumas y restas de números enteros con los primeros ejercicios de la página 26 (1, 2 y 3)
miércoles, 11 de agosto de 2010
Clase 88 - Comparar y ordenar números enteros II - 8 y 9
Ayer, 10 de agosto, trabajamos con los problemas 8 y 9 de la pág. 25.
8. ¿Cuál es la distancia entre -4 y 57? ¿Y entre -13 y 48? ¿Y entre -24 y 37?
Para hallar la distancia (la cantidad de unidades) que hay entre -4 y 57, pensamos la distancia entre -4 y 0 y entre 0 y 57, y las sumamos, es decir: 4 + 57 = 61
Lo mismo para pensar la distancia entre -13 y 48: -13 + 48 = 61
Y entre -24 y 37 : 24 + 37.
En los tres casos se trataba de la distancia entre un negativo y un natural y sumamos la distancia a 0 de los dos.
9. ¿Es posible encontrar más de un par de números enteros de manera que la distancia entre ellos sea 32? Explicá tu respuesta.
Establecimos que hay infinitas soluciones porque dado cualquier número si le sumamos 32 el resultado está a distancia 32 del número dado.
8. ¿Cuál es la distancia entre -4 y 57? ¿Y entre -13 y 48? ¿Y entre -24 y 37?
Para hallar la distancia (la cantidad de unidades) que hay entre -4 y 57, pensamos la distancia entre -4 y 0 y entre 0 y 57, y las sumamos, es decir: 4 + 57 = 61
Lo mismo para pensar la distancia entre -13 y 48: -13 + 48 = 61
Y entre -24 y 37 : 24 + 37.
En los tres casos se trataba de la distancia entre un negativo y un natural y sumamos la distancia a 0 de los dos.
9. ¿Es posible encontrar más de un par de números enteros de manera que la distancia entre ellos sea 32? Explicá tu respuesta.
Establecimos que hay infinitas soluciones porque dado cualquier número si le sumamos 32 el resultado está a distancia 32 del número dado.
lunes, 9 de agosto de 2010
Clase 86 y 87 - Comparar y ordenar números enteros II - 3 a 7
Hoy seguimos trabajando comparación y orden de números enteros.
Respondimos los ejercicos 4 a 7 de las pág. 24 a 25.
Definimos distancia entre dos números y la noción de números opuestos.
domingo, 8 de agosto de 2010
Clase 85 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo de enteros 4 - Comparar y ordenar números enteros
(viernes 6 de agosto)
Ejercicio 4. (Página 29)
Ordená de menor a mayor los siguientes números: 9; -6; -9; 2; -19; 5; 0; -11.
Analizamos la siguiente propuesta:
1) separar los positivos de los negativos, y del cero.
Negativos: -6; -9; -19; -11
El cero: 0
Positivos: 9; 2; 5;
2) ordenar cada grupo
Negativos: -6; -9; -11; -19
Positivos: 2; 5; 9
Discutimso el orden de los negativos. Los positivos estaban bien ordenadas, es más chico el que está más cerca del cero, pero con los negativos es a la inversa; es más chico el que está más lejos del cero:
Negativos: -19; -11; -9; -6
El orden es entonces: -19; -11; -9; -6; 0; 2; 5; 9
Después tomamos los tres primeros ejercicios de la página 24:
Ejercicio 4. (Página 29)
Ordená de menor a mayor los siguientes números: 9; -6; -9; 2; -19; 5; 0; -11.
Analizamos la siguiente propuesta:
1) separar los positivos de los negativos, y del cero.
Negativos: -6; -9; -19; -11
El cero: 0
Positivos: 9; 2; 5;
2) ordenar cada grupo
Negativos: -6; -9; -11; -19
Positivos: 2; 5; 9
Discutimso el orden de los negativos. Los positivos estaban bien ordenadas, es más chico el que está más cerca del cero, pero con los negativos es a la inversa; es más chico el que está más lejos del cero:
Negativos: -19; -11; -9; -6
El orden es entonces: -19; -11; -9; -6; 0; 2; 5; 9
Después tomamos los tres primeros ejercicios de la página 24:
Comparar y ordenar números enteros II.
El ejercicio 1 y 2 consistían en ubicar números en la recta, y nos dan la ubicación de tres números en el primer caso y en el otro de dos.
En el ejercicio 3, había que ubicar en la recta dónde había tres números indicados, el valor de tres puntos de la recta (a qué número correspondían).
viernes, 6 de agosto de 2010
Clase 84 -Para estudiar los primeros problemas del capítulo de enteros : 1 a 3
(miércoles 4 de agosto)
Revisamos tres de los cuatro ejercicios que tenían para hoy:
1. Un ascensor bajó desde el 9° piso hasta el 2° subsuelo. ¿Cuántos pisos descendió?
La mayoría pensó del 9° a PB hay 9 pisos, hasta el segundo subsuelo son dos más: total, 11.
Representado en números:
9 - 11 = -2
2.Julio César nació en el año-101 y murió en -44. Marco Antonio vivió entre -83 y -30. ¿Estuvieron vivos e los mismos años? Si la respuesta es sí, ¿en qué período? (Los números negativos se utilizan para indicar fechas anteriores al nacimiento de Cristo).
Representamos en una línea de tiempo o recta númerica las fechas mencionadas. Como la muerte de Julio César aparecia entre el nacimiento y la muerte de Marco Antonio, ambos compartieron el período que va de-83(nacimiento de Marco Antonio) hasta -44 (la muerte de Julio César).
3.En elaño 67 antes de Cristo los romanos se apoderaron de Creta.Treinta y seis años más tarde, Octavio derrotó a Marco Antonio y su esposa Cleopatra.¿En qué fecha ocurrió ese hecho?
Teníamos que calcular -67 + 36 =
Si desde -67 nos acercamos al 0 en 36. Si nos acercamos en 30 estaremosen-37 y 6 más:en-3.
Revisamos tres de los cuatro ejercicios que tenían para hoy:
1. Un ascensor bajó desde el 9° piso hasta el 2° subsuelo. ¿Cuántos pisos descendió?
La mayoría pensó del 9° a PB hay 9 pisos, hasta el segundo subsuelo son dos más: total, 11.
Representado en números:
9 - 11 = -2
2.Julio César nació en el año-101 y murió en -44. Marco Antonio vivió entre -83 y -30. ¿Estuvieron vivos e los mismos años? Si la respuesta es sí, ¿en qué período? (Los números negativos se utilizan para indicar fechas anteriores al nacimiento de Cristo).
Representamos en una línea de tiempo o recta númerica las fechas mencionadas. Como la muerte de Julio César aparecia entre el nacimiento y la muerte de Marco Antonio, ambos compartieron el período que va de-83(nacimiento de Marco Antonio) hasta -44 (la muerte de Julio César).
3.En elaño 67 antes de Cristo los romanos se apoderaron de Creta.Treinta y seis años más tarde, Octavio derrotó a Marco Antonio y su esposa Cleopatra.¿En qué fecha ocurrió ese hecho?
Teníamos que calcular -67 + 36 =
Si desde -67 nos acercamos al 0 en 36. Si nos acercamos en 30 estaremosen-37 y 6 más:en-3.
domingo, 1 de agosto de 2010
Clase 83 - Comparar y ordenar números enteros I: 2 a 6
Viernes 16 de julio:
2. La temperatura mínima de ayer fue -5°C y la máxima, 11°C. ¿Hubo 8°C en algún momento del día? ¿Y -8°C? Explicá.
Hizo 8 °C porque 8 es menor que 11 y mayor que -5. Pero no hizo -8°C. porque -8 es menor que - 5 que fue la temperatura mínima.
3. El saldo de mi caja de ahorros era de $-128 y ahora es de $ -99. ¿Debo más que antes o menos?
-128 es menor que -99, pero debo menos porque con -128 debo 128 y con -99 debo 99 y 99 es menor que 128.
También puedo pensar que como -99 está más cerca de 0 que -128. Con -99 estoy más cerca de no deber nada.
4. a. Ordená de menor a mayor los siguientes números 7; -5; 12; -19; 0; -3; -7; 4.
b. Explicá como se hace para ordenar números positivos y negativos.
Primero: Cualquier negativo es menor que 0 y 0 es menor que cualquier positivo. Por lo tanto, cualquier negativo es menor que cualqueir positivo. Separamos entonces los negativos, los positivos y el 0
Negativos: -5; -19; -3; -7
Positivo: 7; 12, 4
Segundo: Para ordenar los negativos tengo que pensar que es menor el que está más lejos de 0
Entonces de menor a mayor quedan .-19, -7, -5; -3
Tercero para ordenar los positivos es menor el que está más cerca de 0.
Entonces de menor a mayor quedan: 4; 7; 12
Todos juntos es: -19, -7, -5; -3; 0; 4; 7; 12
5. Escribí el anterior y el siguiente de cada uno de estos números.
En los negativos tenemos que pensar que el anterior es el que está uno más lejos de 0 y en los positivos es el que está 1 más cerca.
| Anterior | Siguiente | |
| -40 | -39 | -38 |
| -1 | 0 | 1 |
| -1000 | -999 | -998 |
| -201 | -200 | -199 |
6. Ubicá -3; 2; -4; 6 y -11 en la recta númerica.
En la recta estaban ubicados el -7, el 0, el 3 y el 5.
Para ubicar el -3, lo ubicamos a la misma distancia que 0 de 3 pero a la izquierda.
Para ubicar el 2, lo ubicamos a la derecha de 0 a la misma distancia que 3 y 5.
Para ubicar el -4, lo ubicamos a 3 de -7 a la derecha (igual distancia que -3 y 0 ó o y 3)
Para ubicar el 6 lo ubicamos a 1 de 5 a la derecha (igual distancia que -4 y -3)
Para ubicar el -11 lo ubicamos a 4 a la izquierda de -7 (igual distancia que -4 y o)
Tarea: Los cuatro primeros ejercicios de la página 29: "Para estudiar los primeros problemas del capítulo II"
jueves, 15 de julio de 2010
Clase 82- Problemas que incluyen números negativos 4 y 5. Comparar y ordenar números enteros I
El miércoles 14 retomamos el problema 4 de la pág.22.
Para representar el estado de cuenta (o saldo) deudor, es decir cuando un cliente le debe dinero al banco, se utilizan números negativos. ES decir para anotar el estado de cuenta el banco pondría -260$.
Para debatir: acordamos que cualquier número entero negativo es menor que cualquier entero positivo, porque todos los negativos son menores que 0 y todos los positivos son mayore que 0
Problema 5. Mart{in dice que esta cuenta no puede resolverse porque 24 es menor que 40. ¿Qué opinás de lo que dice Martín?
Acordamos que si bien en los números naturales es imposible que el minuendo sea menor que el sustraendo. Entre los enteros, por la inclusión de los negativos, esto es posible.
Luego pasamos a resolver los problemas de la página 23: Comparar y ordenar números I.
1. Un submarino estaba a -42 metros respecto del nivel del mar y ahora está a -31 metros. ¿Bajó o subió?
Dijimos que si a 42 bajo el nivel del mar estaba más lejos de la superficie que a 31 m, había subido.
El resto de los problemas de la página quedaron de tarea.
Para representar el estado de cuenta (o saldo) deudor, es decir cuando un cliente le debe dinero al banco, se utilizan números negativos. ES decir para anotar el estado de cuenta el banco pondría -260$.
Para debatir: acordamos que cualquier número entero negativo es menor que cualquier entero positivo, porque todos los negativos son menores que 0 y todos los positivos son mayore que 0
Problema 5. Mart{in dice que esta cuenta no puede resolverse porque 24 es menor que 40. ¿Qué opinás de lo que dice Martín?
Acordamos que si bien en los números naturales es imposible que el minuendo sea menor que el sustraendo. Entre los enteros, por la inclusión de los negativos, esto es posible.
Luego pasamos a resolver los problemas de la página 23: Comparar y ordenar números I.
1. Un submarino estaba a -42 metros respecto del nivel del mar y ahora está a -31 metros. ¿Bajó o subió?
Dijimos que si a 42 bajo el nivel del mar estaba más lejos de la superficie que a 31 m, había subido.
El resto de los problemas de la página quedaron de tarea.
martes, 13 de julio de 2010
Clase 81 -Problemas que incluyen números negativos - 2 a 4
Hoy trabajamos los problemas 2 a 4 de la página 22.
Problema 2
A la salida del Sol la temperatura en El Bolsón era de 15 grados bajo cero. Si a las 3 de la tarde había aumentado 9 grados, ¿cuál era la temperatura en ese momento?
Hubo diferentes procedimientos, muchos utilizaron la representación de los números en una recta y ubicaron el 15 bajo cero y subieron nueve pasos hasta llegar a 6 bajo cero.
Otros por error como vieron que era suma hicieron 15 + 9= 24, pero en realidad era
(-15) + 9 = (-6)
También alguien pensó si la distancia de -15 a 0 es 15 si me acerco 9 a 0, estoy en 6 más cerca porque 6+9=15, así que la temperatura es -6.
Problema 3. En un edificio de departamentos hay 3 piso para estacionamiento construidos debajo del nivel de la calle.
a. Emilia tomó el ascensor en el -2 y fue hasta el 5º piso. ¿Cuántos pisos subió?
En este caso, entre otras lo que pensaron -2 está a 2 de 0 y quedan 5 para subir, por lo tanto: subió 7 pisos.
b. Lucía subió 9 pisos en el ascensor y llegó a su departamento, que es el 6ª A. ¿En que piso lo tomo?
Había que pensar que número hacia abajo está a 9 de 6. 6 está a 6 de 0 y para abajo quedan 3. Así que el número es -3 y Lucía bajo en el tercer subsuelo.
Por último leímos y rápidamente resolvieron el problema 4.
Marisa tiene $280 depositados en su caja de ahorros del banco. Hoy van a descontarle $540 por la cuota de un crédito. Si no le alcanza, el banco le presta dinero que le falta. ¿Cómo anotarían el estado de su caja de ahorros?
Mañana lo retomaremos, dado que respondieron muchos rápidamente que Marisa le debe 260 al banco, pero la pregunta es cómo se anota la deuda.
Problema 2
A la salida del Sol la temperatura en El Bolsón era de 15 grados bajo cero. Si a las 3 de la tarde había aumentado 9 grados, ¿cuál era la temperatura en ese momento?
Hubo diferentes procedimientos, muchos utilizaron la representación de los números en una recta y ubicaron el 15 bajo cero y subieron nueve pasos hasta llegar a 6 bajo cero.
Otros por error como vieron que era suma hicieron 15 + 9= 24, pero en realidad era
(-15) + 9 = (-6)
También alguien pensó si la distancia de -15 a 0 es 15 si me acerco 9 a 0, estoy en 6 más cerca porque 6+9=15, así que la temperatura es -6.
Problema 3. En un edificio de departamentos hay 3 piso para estacionamiento construidos debajo del nivel de la calle.
a. Emilia tomó el ascensor en el -2 y fue hasta el 5º piso. ¿Cuántos pisos subió?
En este caso, entre otras lo que pensaron -2 está a 2 de 0 y quedan 5 para subir, por lo tanto: subió 7 pisos.
b. Lucía subió 9 pisos en el ascensor y llegó a su departamento, que es el 6ª A. ¿En que piso lo tomo?
Había que pensar que número hacia abajo está a 9 de 6. 6 está a 6 de 0 y para abajo quedan 3. Así que el número es -3 y Lucía bajo en el tercer subsuelo.
Por último leímos y rápidamente resolvieron el problema 4.
Marisa tiene $280 depositados en su caja de ahorros del banco. Hoy van a descontarle $540 por la cuota de un crédito. Si no le alcanza, el banco le presta dinero que le falta. ¿Cómo anotarían el estado de su caja de ahorros?
Mañana lo retomaremos, dado que respondieron muchos rápidamente que Marisa le debe 260 al banco, pero la pregunta es cómo se anota la deuda.
Clase 80- Problemas que incluyen números negativos - 1
El lunes 12 comenzamos a trabajar con el capítulo II "Números enteros".
Comenzamos resolviendo el problema 1 de la página 22.
"En la ciudad de San Carlos de Bariloche, en un día de invierno, se registró una temperatura de 2º C. Algunas horas más tarde había descendido 7º C. ¿Cuál era la temperatura en ese momento? ¿Y si hubiera descendido otros 3ºC?"
Para resolverlo algunos dibujaron una regla como la que hay en los termometros. Marcaron 2ºC y bajaron siete grados, uno a uno por la regla hasta llegar a 5ºC bajo cero. Para contestar la segunda pregunta bajaron tres grados más desde 5ºC bajo cero y llegaron a 8ºC.
Otros pensaron, de 2 a 0 hay 2. Si tengo que bajar 7 en total y ya bajé 2 me queda bajar 5. Conclusión: 5ºC. Para contestar la segunda pregunta: estoy en 5ºC , si voy a estar 3ºC más lejos de 0, voy a estar a 8ºC bajo cero.
Por último hubo quienes usaron la calculadora:
Primera pregunta: 2-7= -5 . Les dio como resultado un número negativo (un número natural con un - delatnte) -5 en este contexto indica 5ºC bajo cero. -5 = 0-5
Segunda pregunta: -5 -3 = -8
Comenzamos resolviendo el problema 1 de la página 22.
"En la ciudad de San Carlos de Bariloche, en un día de invierno, se registró una temperatura de 2º C. Algunas horas más tarde había descendido 7º C. ¿Cuál era la temperatura en ese momento? ¿Y si hubiera descendido otros 3ºC?"
Para resolverlo algunos dibujaron una regla como la que hay en los termometros. Marcaron 2ºC y bajaron siete grados, uno a uno por la regla hasta llegar a 5ºC bajo cero. Para contestar la segunda pregunta bajaron tres grados más desde 5ºC bajo cero y llegaron a 8ºC.
Otros pensaron, de 2 a 0 hay 2. Si tengo que bajar 7 en total y ya bajé 2 me queda bajar 5. Conclusión: 5ºC. Para contestar la segunda pregunta: estoy en 5ºC , si voy a estar 3ºC más lejos de 0, voy a estar a 8ºC bajo cero.
Por último hubo quienes usaron la calculadora:
Primera pregunta: 2-7= -5 . Les dio como resultado un número negativo (un número natural con un - delatnte) -5 en este contexto indica 5ºC bajo cero. -5 = 0-5
Segunda pregunta: -5 -3 = -8
lunes, 5 de julio de 2010
Clases 76, 77, 78 y 79- ¿Qué aprendimos sobre divisibilidad de números naturales?
Esta semana estuvimos trabajando en un trabajo práctico que les propone una revisión de todo lo que estuvimos viendo de divisibilidad.
Haciendo clic acá, tenés una copia.
Haciendo clic acá, tenés una copia.
viernes, 2 de julio de 2010
Para estudiar los primeros problemas del capítulo sobre naturales - 11
Hoy continuamos practicando para la evaluación...
La mayoría estuvo haciendo el ejercicio 11:
"Tengo cierta cantidad de elementos. Si los agrupo de a 5 ó de a 4, me sobra 1; pero si los agrupo de a 3, me sobran 2. ¿Cuántos elementos puede ser que tenga, si sé que son menos de 280? ¿Cuántos elementos puede ser que tenga si sé que son menos de 280? ¿Y si fueran menos de 350?
Buscamos un número que cumpla las siguientes condiciones:
-ser igual a la suma de un divisible por 5 (o múltiplo de 5) y 1
-ser igual a la suma de un divisible por 4 (o múltiplo de 5)y 1
-ser igual a la suma de un divisible por 3 (o múltiplo de 3) y 2
-ser menor que 280
Hicimos listas con los números que cumplían las condiciones por separado
Números que son un (múltiplo de 5) + 1 (todos los números que terminan en 1 y 6):
1, 6, 11, 16, 21, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136,...
Números que son un (múltiplo de 4) + 1:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117,...
Números que son un (múltiplo de 3) + 2:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98, 101, 104, 107, 110, 113, 116, 119,
Los tres primeros números que coinciden en las tres listas son: 41 y 101, se repiten de 60 en 60, porque 60 es el mcm (5, 4, 3) ya que:
Si a un número que al dividirlo por 4 me da resto 1, le sumo un múltiplo de 4, el resultado también me dará 1 al dividirlo por 4.
Si a un número que al dividirlo por 5 me da resto 1, le sumo un múltiplo de 5, el resultado también me dará 1 al dividirlo por 5.
Si a un número que al dividirlo por 3 me da resto 3, le sumo un múltiplo de 3, el resultado también me dará 2 al dividirlo por 3.
y en general si al dividir D por d me da resto r, entonces D + d.n el dividirlo por d, también me dará resto r.
La próxima clase traemos todos los ejercicios de esta página resueltos.
La mayoría estuvo haciendo el ejercicio 11:
"Tengo cierta cantidad de elementos. Si los agrupo de a 5 ó de a 4, me sobra 1; pero si los agrupo de a 3, me sobran 2. ¿Cuántos elementos puede ser que tenga, si sé que son menos de 280? ¿Cuántos elementos puede ser que tenga si sé que son menos de 280? ¿Y si fueran menos de 350?
Buscamos un número que cumpla las siguientes condiciones:
-ser igual a la suma de un divisible por 5 (o múltiplo de 5) y 1
-ser igual a la suma de un divisible por 4 (o múltiplo de 5)y 1
-ser igual a la suma de un divisible por 3 (o múltiplo de 3) y 2
-ser menor que 280
Hicimos listas con los números que cumplían las condiciones por separado
Números que son un (múltiplo de 5) + 1 (todos los números que terminan en 1 y 6):
1, 6, 11, 16, 21, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136,...
Números que son un (múltiplo de 4) + 1:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, 101, 105, 109, 113, 117,...
Números que son un (múltiplo de 3) + 2:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 62, 65, 68, 71, 74, 77, 80, 83, 86, 89, 92, 95, 98, 101, 104, 107, 110, 113, 116, 119,
Los tres primeros números que coinciden en las tres listas son: 41 y 101, se repiten de 60 en 60, porque 60 es el mcm (5, 4, 3) ya que:
Si a un número que al dividirlo por 4 me da resto 1, le sumo un múltiplo de 4, el resultado también me dará 1 al dividirlo por 4.
Si a un número que al dividirlo por 5 me da resto 1, le sumo un múltiplo de 5, el resultado también me dará 1 al dividirlo por 5.
Si a un número que al dividirlo por 3 me da resto 3, le sumo un múltiplo de 3, el resultado también me dará 2 al dividirlo por 3.
y en general si al dividir D por d me da resto r, entonces D + d.n el dividirlo por d, también me dará resto r.
La próxima clase traemos todos los ejercicios de esta página resueltos.
miércoles, 30 de junio de 2010
Clase 74 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo sobre números naturales: desde el 10 en adelante...
Hoy empezamos a practicar, repasar, estudiar para la prueba...
No llegamos a hacer más allá del problema 11.
Problema 10.
2002 es divisible por 2, 2 entonces es divisor o factor de 2002.
2002 es divisible por 7, 7 entonces es divisor o factor de 2002.
2 y 7 son factores de 2002, es decir:
2002 = 2 x algo más.
2002 = 7 x algo más.
2 y 7 son primos, por lo tanto son factores primos de 2002.
2002 = 2 x 7 x algo más.
2002 = 14 x algo más
14 es divisor de 2002.
Entonces 2002 es divisible por 14.
Si generalizamos lo que pensamos en este problema:
Si a y b son factores primos de un número, ese número es divisible por a x b.
Algunos hicieron o empezaron a hacer el 11 pero no llegamos a revisarlo en el pizarrón.
No llegamos a hacer más allá del problema 11.
Problema 10.
2002 es divisible por 2, 2 entonces es divisor o factor de 2002.
2002 es divisible por 7, 7 entonces es divisor o factor de 2002.
2 y 7 son factores de 2002, es decir:
2002 = 2 x algo más.
2002 = 7 x algo más.
2 y 7 son primos, por lo tanto son factores primos de 2002.
2002 = 2 x 7 x algo más.
2002 = 14 x algo más
14 es divisor de 2002.
Entonces 2002 es divisible por 14.
Si generalizamos lo que pensamos en este problema:
Si a y b son factores primos de un número, ese número es divisible por a x b.
Algunos hicieron o empezaron a hacer el 11 pero no llegamos a revisarlo en el pizarrón.
martes, 29 de junio de 2010
Clase 73: Revisar lo trabajado en la clase de ayer
Hoy revisamos, estudiamos, los problemas que hicimos ayer.
Estudiar no sólo es practicar es practicar reflexionando
sobre lo que hace o se hizo. Cómo jugadores de un equipo
que revisan como jugaron un partido o piensan estrategias
para juegos futuros.
La pregunta que guió nuestra revisión fue: ¿Qué
conocimientos matemáticos tuvimos que usar o aprender para
resolver la actividad?
Ejercicio 9 (página 13):
La relación "es divisor de" es transitiva.
Si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es
divisor de c.
Ejercicio 11 (página 11)
Los números que no tienen factores primos en común, sólo
tienen al 1 de divisor común, y por lo tanto su dcm es 1 y
su mcm se obtiene mutliplicandolos entre sí.
Ejercicio 6 (página 12)
Para probar una generalización no alcanza con mostrar
muchos ejemplos, pero basta con un contraejemplo para
negarla.
Si bien la fórmula n x n x 2 + 29 da como resultado muchas
veces números primos. No siempre.
Jazmín encontró el caso en el que n sea 29.
Sin necesidad de hacer la cuenta mostró que
si 29 x 29 x 2 es múltiplo de 29 (lo tienen como factor)
y 29 es múltiplo de sí mismo como todos los números.
entonces la suma 29 x 29 x 2 + 29 será múltiplo de 29, y no
será primo,porque es la suma de dos múltiplos, y la suma de
dos múltiplos siempre será un múltiplo.
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
Ejercicio 7 (página 12)
La suma de dos primos a veces da número primo y a veces
número compuesto.
Ejercicio 8 (página 12)
El producto de dos números primos es siempre número
compuesto, ya que los dos números primos son sus divisores
y también el producto entre ambos. Si le agregamos el 1,
tiene cuatro divisores.
Estudiar no sólo es practicar es practicar reflexionando
sobre lo que hace o se hizo. Cómo jugadores de un equipo
que revisan como jugaron un partido o piensan estrategias
para juegos futuros.
La pregunta que guió nuestra revisión fue: ¿Qué
conocimientos matemáticos tuvimos que usar o aprender para
resolver la actividad?
Ejercicio 9 (página 13):
La relación "es divisor de" es transitiva.
Si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es
divisor de c.
Ejercicio 11 (página 11)
Los números que no tienen factores primos en común, sólo
tienen al 1 de divisor común, y por lo tanto su dcm es 1 y
su mcm se obtiene mutliplicandolos entre sí.
Ejercicio 6 (página 12)
Para probar una generalización no alcanza con mostrar
muchos ejemplos, pero basta con un contraejemplo para
negarla.
Si bien la fórmula n x n x 2 + 29 da como resultado muchas
veces números primos. No siempre.
Jazmín encontró el caso en el que n sea 29.
Sin necesidad de hacer la cuenta mostró que
si 29 x 29 x 2 es múltiplo de 29 (lo tienen como factor)
y 29 es múltiplo de sí mismo como todos los números.
entonces la suma 29 x 29 x 2 + 29 será múltiplo de 29, y no
será primo,porque es la suma de dos múltiplos, y la suma de
dos múltiplos siempre será un múltiplo.
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
Ejercicio 7 (página 12)
La suma de dos primos a veces da número primo y a veces
número compuesto.
Ejercicio 8 (página 12)
El producto de dos números primos es siempre número
compuesto, ya que los dos números primos son sus divisores
y también el producto entre ambos. Si le agregamos el 1,
tiene cuatro divisores.
lunes, 28 de junio de 2010
Clase 72 - Cálculos y divisibilidad 11 - Números primos 6, 7 y 8
Continuamos con el ejercicio 11 (c y d) de la página 11
11.c
m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Estuvimos buscando ejemplos de números que cumplieran la condición.
Pasaba cuando a y b eran primos...
por ejemplo el mcm ( 3 ; 5) es 15
pero no unicamente.
Siempre que dos números no tienen divisores en común (lo reconocemos porque al factorizar no tienen factores primos en común), el mcm se calcula multiplicando uno por otro. En este caso decimos que los números son coprimos.
11. d
m.c.m. (a;b) = 5
5 es sólo múltiplo de 5 y de 1 por ser primo, por lo cual, a y b tienen solo pueden ser 1 ó 5 (pero uno de los dos si o si tiene que ser 5):
a = 1 b = 5
a = 5 b = 1
a = 5 b = 5
Luego continuamos cno los ejercicios 6 y 7 de la página 12 (números primos). El 8 va de tarea.
6. Elegí un número natural, elevalo al cuadrado, multiplicalo por 2 y al resultado sumale 29. ¿Será cierto que se obtiene un número primo?
Encontramos un montón de ejemplos en los cuales se daba que esto era si.
n x n x 2 + 29.
Establecimos que no podíamos saber si siempre ocurriría por que pasara en muchos casos.
De hecho, Jazmín encontró un contraejemplo. En el caso de que el número (n) fuera 29:
El cálculo sería:
29 x 29 x 2 + 29.
El primer término (29 x 29 x 2) es múltiplo de 29 si le sumo otro 29 sì o sí obtengo otro múltiplo de 29:
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
7. Si se suman dos números primos, ¿se obtiene siempre otro número? ¿A veces? ¿Nunca?
A veces sí, a veces no:
5 + 7 = 12 (ahí no)
13 + 2 = 12 (ahí tampoco)
Pero:
2 + 3 = 5 (acá sí).
Para mañana pensamos el 8:
Si se multiplican dos números primos, ¿es posible obtener otro número primo?
11.c
m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Estuvimos buscando ejemplos de números que cumplieran la condición.
Pasaba cuando a y b eran primos...
por ejemplo el mcm ( 3 ; 5) es 15
pero no unicamente.
Siempre que dos números no tienen divisores en común (lo reconocemos porque al factorizar no tienen factores primos en común), el mcm se calcula multiplicando uno por otro. En este caso decimos que los números son coprimos.
11. d
m.c.m. (a;b) = 5
5 es sólo múltiplo de 5 y de 1 por ser primo, por lo cual, a y b tienen solo pueden ser 1 ó 5 (pero uno de los dos si o si tiene que ser 5):
a = 1 b = 5
a = 5 b = 1
a = 5 b = 5
Luego continuamos cno los ejercicios 6 y 7 de la página 12 (números primos). El 8 va de tarea.
6. Elegí un número natural, elevalo al cuadrado, multiplicalo por 2 y al resultado sumale 29. ¿Será cierto que se obtiene un número primo?
Encontramos un montón de ejemplos en los cuales se daba que esto era si.
n x n x 2 + 29.
Establecimos que no podíamos saber si siempre ocurriría por que pasara en muchos casos.
De hecho, Jazmín encontró un contraejemplo. En el caso de que el número (n) fuera 29:
El cálculo sería:
29 x 29 x 2 + 29.
El primer término (29 x 29 x 2) es múltiplo de 29 si le sumo otro 29 sì o sí obtengo otro múltiplo de 29:
29 x 29 x 2 + 29 = 29 x (29 x 2 + 1)
7. Si se suman dos números primos, ¿se obtiene siempre otro número? ¿A veces? ¿Nunca?
A veces sí, a veces no:
5 + 7 = 12 (ahí no)
13 + 2 = 12 (ahí tampoco)
Pero:
2 + 3 = 5 (acá sí).
Para mañana pensamos el 8:
Si se multiplican dos números primos, ¿es posible obtener otro número primo?
Clase 71 - Para estudiar los primeros problemas del capìtulo de números naturales. 9. Cálculo y divisibilidad 11.a, b y c.
Corregimos:
Ejercicio 9 (pág. 13):
El número 46 es divisor de 322. ¿Será cierto que 46 es divisor de:
a. 644?
b. 966?
c. 161?
Decidí sin hacer la cuenta de dividir.
a. Cómo 644 es el doble de 322, es múltiplo de 322. Entonces 322 es divisor de 644
Y si 46 es divisor de 322
y 322 es divisor de 644,
entonces 46 es divisor de 644.
b. Es similar al anterior (966 es el triple de 322). Expliquémoslo de otra manera.
322 = 46 x n (n es algún número natural)
966 = 3 x 322, entoncse 966 = 3 x 46 x n , entonces 46 es divisor de 966
c. 161 es la mitad de 322 no sabemos si hay un número natural que multiplicado por 161 dé 322.
O bien:
SAbemos que no hay un número que multiplicado por 46 dé 161, porque 161 no es multiplo de 2 y 46 sí, Y sí 161 fuera múltiplo de 46, debería ser múltiplo también de sus divisores.
Retomamos luego el ejercicio 11 de la página 11.
11.a (repaso)
m.c.m. (a; b) = 1 , entonces a = b = 1 porque 1 es sólo múltiplo de sí mismo.
11.b (repaso)
m.c.m. (a; b) = a.
Vimos pares de números que hicieran que el mcm de los dos fuera el primero de ellos.
(10; 5) (25;5) (100; 10) (35; 7).
En todos los casos a es mayor o igual que b y a = n. b (siendo n un nùmero natural), es decir a es múltiplo de b.
11.c m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
Ejercicio 9 (pág. 13):
El número 46 es divisor de 322. ¿Será cierto que 46 es divisor de:
a. 644?
b. 966?
c. 161?
Decidí sin hacer la cuenta de dividir.
a. Cómo 644 es el doble de 322, es múltiplo de 322. Entonces 322 es divisor de 644
Y si 46 es divisor de 322
y 322 es divisor de 644,
entonces 46 es divisor de 644.
b. Es similar al anterior (966 es el triple de 322). Expliquémoslo de otra manera.
322 = 46 x n (n es algún número natural)
966 = 3 x 322, entoncse 966 = 3 x 46 x n , entonces 46 es divisor de 966
c. 161 es la mitad de 322 no sabemos si hay un número natural que multiplicado por 161 dé 322.
O bien:
SAbemos que no hay un número que multiplicado por 46 dé 161, porque 161 no es multiplo de 2 y 46 sí, Y sí 161 fuera múltiplo de 46, debería ser múltiplo también de sus divisores.
Retomamos luego el ejercicio 11 de la página 11.
11.a (repaso)
m.c.m. (a; b) = 1 , entonces a = b = 1 porque 1 es sólo múltiplo de sí mismo.
11.b (repaso)
m.c.m. (a; b) = a.
Vimos pares de números que hicieran que el mcm de los dos fuera el primero de ellos.
(10; 5) (25;5) (100; 10) (35; 7).
En todos los casos a es mayor o igual que b y a = n. b (siendo n un nùmero natural), es decir a es múltiplo de b.
11.c m.cm. (a; b) = a x b
Estuvimos buscando pares de números en los que para hallar el mcm hubiera que multiplicar a dos de ellos.
viernes, 25 de junio de 2010
Clase 70 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo de números naturales: 8
Revisamos uno de los ejercicios de la tarea. Ninguno lo había hecho.
8. Hay una tira que se puede dividir en tiras iguales de 5 cm de largo.
¿Es posible dividir en tiras de 5 cm una que mida:
a.el doble de la dibujada?
b. el triple de la dibujada?
c. la mitad de la dibujada?
Decidí en todos los casos sin construir las tiras.
Respondimos sì, para le caso a y b. Si podemos dividir en tiras iguales de 5 cm, al sumarle una o dos partes iguales màs, esas partes también podrán subdividirse en partes iguales de 5 cm.
La tira inicial tiene una longitud que es múltiplo de 5. Es decir un número desconocido b multiplicado por 5 da la medida de la tira que sí o sí será múltiplo de 5. Es decir si la longitud de la tira es a = b x 5, el doble de la tira será
2 x a = 2 x a x 5, y el triple de la tira será 3 x a = 3 x a x 5. Un múltiplo de un multiplo de 5, también es múliplo de 5.
En cuanto al caso c. dijimos que no siempre al dividir por la mitad la tira, las partes resultantes serán divisibles por 5. Por ejemplo, sì la tira inicial mide 15 cm, puede dividirse en tres partes iguales de 5 cm c/u pero la mitad de esa tira no.
Nos preguntamos en qué casos si obtendríamos una tira divisible otra vez por 5. Si la medida de la tira es a = b x 5, es decir una tira de una longitud de a cm, que se puede dividir en una cantidad b de tiras de 5 cm, la mitad de la tira será divisible por 5 en el caso de que b sea par.
Relacionamos la transitividad de la relación "ser múltiplo d"( "Si 5 es múltiplo de 15 y 15 múltiplo de 45, entonces 5 es múltiplo de 45" o "Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de be) con el "Para debatir" de la página 11 que habíamos trabajado en al clase anterior, ya que habíamos visto que:
Si el mcm (12, 15) es múltiplo de 12 y 12 es múltiplo del dcm (12,15), entonces el mcm (12,15) es múltiplo del dcm (12,15)
8. Hay una tira que se puede dividir en tiras iguales de 5 cm de largo.
¿Es posible dividir en tiras de 5 cm una que mida:
a.el doble de la dibujada?
b. el triple de la dibujada?
c. la mitad de la dibujada?
Decidí en todos los casos sin construir las tiras.
Respondimos sì, para le caso a y b. Si podemos dividir en tiras iguales de 5 cm, al sumarle una o dos partes iguales màs, esas partes también podrán subdividirse en partes iguales de 5 cm.
La tira inicial tiene una longitud que es múltiplo de 5. Es decir un número desconocido b multiplicado por 5 da la medida de la tira que sí o sí será múltiplo de 5. Es decir si la longitud de la tira es a = b x 5, el doble de la tira será
2 x a = 2 x a x 5, y el triple de la tira será 3 x a = 3 x a x 5. Un múltiplo de un multiplo de 5, también es múliplo de 5.
En cuanto al caso c. dijimos que no siempre al dividir por la mitad la tira, las partes resultantes serán divisibles por 5. Por ejemplo, sì la tira inicial mide 15 cm, puede dividirse en tres partes iguales de 5 cm c/u pero la mitad de esa tira no.
Nos preguntamos en qué casos si obtendríamos una tira divisible otra vez por 5. Si la medida de la tira es a = b x 5, es decir una tira de una longitud de a cm, que se puede dividir en una cantidad b de tiras de 5 cm, la mitad de la tira será divisible por 5 en el caso de que b sea par.
Relacionamos la transitividad de la relación "ser múltiplo d"( "Si 5 es múltiplo de 15 y 15 múltiplo de 45, entonces 5 es múltiplo de 45" o "Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de be) con el "Para debatir" de la página 11 que habíamos trabajado en al clase anterior, ya que habíamos visto que:
Si el mcm (12, 15) es múltiplo de 12 y 12 es múltiplo del dcm (12,15), entonces el mcm (12,15) es múltiplo del dcm (12,15)
jueves, 24 de junio de 2010
Clase 69 - Cálculos y divisibilidad - 10 + Para debatir y 11 a y b
En la clase de ayer retomamos lo visto la clase pasada.
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...
Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60
Sólo faltaba agregar:
9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)
Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.
11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a
De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.
a. m.c.m. (a; b) = 1
Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.
Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1
b. m.c. m. (a; b) = a
a es múltiplo de a
a es múltiplo de b
b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...
o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).
Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)
¿Por qué el DCM de 15 y 12 es divisor de su mcm?
Retomamos analizando el ejemplo antes de generalizar...
3 (el DCM de 15 y 12) es obviamente divisor de 15 y 12 y 15 y 12 son divisores de su MCM (ya que todos los números son divisores de sus múltiplos). Y siempre se da que un divisor de un número es divisor también de sus múltiplos.
Si pensamos los número factorizados:
3 es divisor de 3 x 5.
3 x 5 es divisor de 3 x 5 x 4:
POr lo tanto, 3 es divisor de 3 x 5 x 4...
Si retomamos la "demostración" más general que había hecho la clase anterior:
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a . Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 15
2 -DCM (a,b) es divisor de b. Por ejemplo el DCM (15,12) es divisor de 12
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b. Por ejemplo el mcm (15,12) es múltiplo de 15
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas). Por ejemplo si 60 es múltiplo de 15, entonces 15 es divisor de 60
6- a es divisor de mcm (a,b) . 15 es divisor del mcm (15,12)
7 - b es divisor de mcm (a,b) . 12 es divisor del mcm (15, 12)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)... Por ejemplo: si 3 es divisor de 15 y 15 es divisor de 60, entonces 3 es divisor de 60
Sólo faltaba agregar:
9- Si DCM (a, b) es divisor de a y b (como dice en los pasos 1 y 2) y a y b son divisores del MCM (a, b) (como dice en los pasos 6 y 7), entonces DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b) (es un caso de lo que dijimos en el paso 8).
CONCLUSIÓN: DCM (a, b) es divisor del MCM (a, b)
Luego de trabajar en esto pasamos a hacer el ejercicio 11. Sólo llegamos a revisar los ítems a y b.
11. Trabajá en tu carpeta y encontrá dos números naturales a y b que reúnan las condiciones qu se indican en cada caso. Decidí si la solución es única o si hay ás de una respuesta posible.
a. m.c.m. (a; b) = 1
b. m.c.m. (a; b) = a
De lo que se trataba era de reemplazar a y b por números naturales que hicieran que la igualdad fuera verdadera.
a. m.c.m. (a; b) = 1
Por ejemplo si reemplazo a por 3 y b por 4 no hago que la igualdad sea verdadera por que el mcm de 3 y 4 no es 1.
Tengo que ver qué información tengo en esa igualdad:
1 es múltiplo de a.
1 es múltiplo de b.
Entonces a x ? = 1 y b x ? = 1...
De qué números es múltiplo 1, o qué ejemplos tengo de un par de números naturales que muliplicados den 1. Sólo 1 multiplicado por sí mismo da 1. De modo que
a = 1 y b = 1
m.c.m. (1 ; 1 ) = 1
b. m.c. m. (a; b) = a
a es múltiplo de a
a es múltiplo de b
b lo puedo reemplazar por un número cualquiera y a por un múltiplo de b.
Por ejemplo a = 10 y b = 5
o b = 1 y a, cualquier número natural;
o b = 2 y a, cualqueir número par;
o b = 3 y a, cualquiero múltiplo de 3
o b= 4 y a, cualquier múlitplo de 4...
o b = n (número natural) y a = k. n (k otro número natural).
Para la próxima, los ejercicios: 8 y 9 de "Para estudiar los primeros problemas del capítulo 1, pág. 13)
martes, 22 de junio de 2010
Clases 66 y 67 - Cálculos y divisibilidad- 10 b + Para debatir
En la quinta hora trabajamos sobre el ejercicio 10b de la pág. 11 y un "Para debatir" que tiene anexo.
En el ejercicio 10 b vimos que el DCM (15, 12) es divisor del mcm (15, 12)...
En el "Para debatir" nos preguntabamos si siempre será así... ¿Siempre el DCM de dos números es divisor del mcm de esos mismos números?
Podemos usar letras para probarlo:
Queremos probar que:
"DCM (a,b) es divisor del mcm (a,b)"
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a
2 -DCM (a,b) es divisor de b
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas)
6- a es divisor de mcm (a,b)
7 - b es divisor de mcm (a,b)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)...
No llegamos a terminarlo.
En la sexta hora practicamos los ejercicios que traían de tarea ya que la mayor parte de ustedes no lo había traído hecho.
En el ejercicio 10 b vimos que el DCM (15, 12) es divisor del mcm (15, 12)...
En el "Para debatir" nos preguntabamos si siempre será así... ¿Siempre el DCM de dos números es divisor del mcm de esos mismos números?
Podemos usar letras para probarlo:
Queremos probar que:
"DCM (a,b) es divisor del mcm (a,b)"
Empecé a mostrarles una demostración
1 -DCM (a,b) es divisor de a
2 -DCM (a,b) es divisor de b
3 -mcm (a,b) es múltiplo de a
4 -mcm (a,b) es múltiplo de b
5 -Si a es múltiplo de b, b es divisor de a (las relaciones "ser múltiplo de" y "ser divisor de" son inversas)
6- a es divisor de mcm (a,b)
7 - b es divisor de mcm (a,b)
8 - si a es divisor de b y b divisor de c, entonces a es divisor de c... (la relación "ser divisor de" es transitiva)...
No llegamos a terminarlo.
En la sexta hora practicamos los ejercicios que traían de tarea ya que la mayor parte de ustedes no lo había traído hecho.
viernes, 18 de junio de 2010
Clase 65 - Cálculos y divisibilidad - 9 y 10
Repasamos la obtención del mcm y el DCM mediante la factorización.
REvisamos la tarea (ejercicios 9 y 10).
9. Encontrá el máximo común divisor entre:
a. 45 y 20:
45= 3 x 3 x 5
20= 2 x 2 x 5
DCM (45,20) = 5
b.25 y 35
25 = 5 x 5
35=5 x 7
10. a. Encontrá el DCM y el mcm entre 15 y 12
15 = 3 x 5
12 = 2 x 2 x 3
DCM (15,12) = 3
Empezamos a hacer y quedamos en terminar para la clase siguiente los ejercicios 19, 20 y 21.
19. Encontrá todos los divisores de 86.
20. Encontrá el m.c.m. entre:
-18 y 45
-24, 15 y 20
-7 y 13
-6 y 24
21. Encontrá el DCM entre:
-72, 64 y 48
-7 y 13
-6 y 24
REvisamos la tarea (ejercicios 9 y 10).
9. Encontrá el máximo común divisor entre:
a. 45 y 20:
45= 3 x 3 x 5
20= 2 x 2 x 5
DCM (45,20) = 5
b.25 y 35
25 = 5 x 5
35=5 x 7
10. a. Encontrá el DCM y el mcm entre 15 y 12
15 = 3 x 5
12 = 2 x 2 x 3
DCM (15,12) = 3
Empezamos a hacer y quedamos en terminar para la clase siguiente los ejercicios 19, 20 y 21.
19. Encontrá todos los divisores de 86.
20. Encontrá el m.c.m. entre:
-18 y 45
-24, 15 y 20
-7 y 13
-6 y 24
21. Encontrá el DCM entre:
-72, 64 y 48
-7 y 13
-6 y 24
miércoles, 16 de junio de 2010
Clase 64 - Cálculo y divisibilidad (d.c.m.) 8
Hoy trabajamos una técnica de obtención del d.c.m. (divisor común mayor) o m.c.d. (máximo común divisor), a través de la factorización.
Primero repasamos el modo en que veníamos calculando el d.c.m.
Si queríamos obtener el d.c.m. de 30 y 36, hacíamos la lista de los divisores de ambos números y ubicabamos cuál es el mayor que los dos tienen en común.
Divisores de 30:
Para obtener los divisores tenemos varios métodos.
Uno de ellos es descomponer el número en factores primos y luego encontrar todos los números del que es múltiplo 30
30 = 2 x 3 x 5
1 es divisor (lo es de todos los números)
2, 3 y 5 son los factorse o divisores primos.
2 x 3, 2 x 5, y 3 x 5 son divisores. Es decir, 6, 10 y 15
y tambien 2 x 3 x 5 = 30 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 36:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
1 es divisor (lo es de todos los números)
2 x 2, 2 x 3 y 3 x 3 son divisores. Es decir, 4, 6 y 9
2 x 2 x 3 y 2 x 3 x 3 son divisores. Es decir, 12 y 18
y también 2 x 2 x 3 x 3 = 36 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
El mayor de los divisores comunes es 6.
El método que vimos hoy consiste en lo siguiente:
Descomponer en factores primos el 30 y el 36
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3
y buscar el divisor o factor más grande que podemos armar con los divisores primos comunes. Se trata de 2 x 3 = 6
Para el viernes, hacemos de tarea: los ejercicios 9 y 10 de la página 11.
Primero repasamos el modo en que veníamos calculando el d.c.m.
Si queríamos obtener el d.c.m. de 30 y 36, hacíamos la lista de los divisores de ambos números y ubicabamos cuál es el mayor que los dos tienen en común.
Divisores de 30:
Para obtener los divisores tenemos varios métodos.
Uno de ellos es descomponer el número en factores primos y luego encontrar todos los números del que es múltiplo 30
30 = 2 x 3 x 5
1 es divisor (lo es de todos los números)
2, 3 y 5 son los factorse o divisores primos.
2 x 3, 2 x 5, y 3 x 5 son divisores. Es decir, 6, 10 y 15
y tambien 2 x 3 x 5 = 30 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Divisores de 36:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
1 es divisor (lo es de todos los números)
2 x 2, 2 x 3 y 3 x 3 son divisores. Es decir, 4, 6 y 9
2 x 2 x 3 y 2 x 3 x 3 son divisores. Es decir, 12 y 18
y también 2 x 2 x 3 x 3 = 36 (todos los números son divisores de sí mismos)
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
El mayor de los divisores comunes es 6.
El método que vimos hoy consiste en lo siguiente:
Descomponer en factores primos el 30 y el 36
30 = 2 x 3 x 5
36 = 2 x 2 x 3 x 3
y buscar el divisor o factor más grande que podemos armar con los divisores primos comunes. Se trata de 2 x 3 = 6
Para el viernes, hacemos de tarea: los ejercicios 9 y 10 de la página 11.
martes, 15 de junio de 2010
Clase 63 - Cálculo y divisibilidad (m.c.m) 7
Explicamos un método para calcular el m.c.m. utilizando la descomposición en factores primos.
Por ejemplo de 12 y 30:
m.c.m.(12,30)
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Un número que sea múltiplo de 12 y 30 deberá contener tanto a 12 como a treinta.
m.c.m (12,30) = 12 x ....
m.c.m. (12,30) = 30 x ...
Entonces escribimos la factorización de ese m.c.m.
Tiene que tener los factores de 12 la misma cantidad de veces:
m.c.m (12,30) = 2 x 2 x 3 x ...
y le agregamos los factores que faltan de 30 (sólo un 5)
m.c.m. (12, 30) = 2 x 2 x 3 x 5
Para mañan de tarea hacer el ejercicio 7 de la página 11
Por ejemplo de 12 y 30:
m.c.m.(12,30)
12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
Un número que sea múltiplo de 12 y 30 deberá contener tanto a 12 como a treinta.
m.c.m (12,30) = 12 x ....
m.c.m. (12,30) = 30 x ...
Entonces escribimos la factorización de ese m.c.m.
Tiene que tener los factores de 12 la misma cantidad de veces:
m.c.m (12,30) = 2 x 2 x 3 x ...
y le agregamos los factores que faltan de 30 (sólo un 5)
m.c.m. (12, 30) = 2 x 2 x 3 x 5
Para mañan de tarea hacer el ejercicio 7 de la página 11
lunes, 14 de junio de 2010
Clases 61 y 62 - Estudiar más sobre la división - Cálculo y divisibilidad: 4, 5 y 6
Comenzamos revisando la tarea que partía del trabajo con la tabla de cociente y dividendo de la clase anterior.
¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1.000?
En la fila de los cocientes teníamos los números naturales, en la fila de los dividendos la suma de un múltiplo de 15 + 6.
El múltiplo de 15 más cercano a 1000 es 1005. Si le sumamos 6 obtenemos un dividendo posible para la cuenta. Para hallar el cociente respectivo tenemos que pensar por qué número tenemos que multiplicar a 15 para que nos dé 1005, ese número es 67. Entonces, para que el dividendo sea mayor que 1000, el cociente tiene que ser mayor o igual a 67.
Otra manera es dividir 1.000 por 15 en la calculadora. Nos da 66,6666... El cociente entero próximo es 67.
Luego de revisar la tarea, continuamos con los ejercicios que quedaban pendiente de cálculo y divisibilidad... Ejercicios 4, 5 y 6 de la página 10:
Ejercicio 4:
Primero tenés que decidir y sólo después hacer las cuentas para comprobar.
a. ¿Será cierto que con este dividendo la cuetna tiene resto 3?
dividendo: 9.765 x 9 + 3
divisor: 9
Respuesta:
(9.765 x 9 + 3) es un múltiplo de 9 al que se la ha sumado 3, es decir que si le restamos 3 tendremos un número divisible por 3. 9.765 x 9 : 9 dará resto 0. Si le sumamos 3, el resto al dividirlo por 3 será 3.
b. ¿Y con este otro, tien resto 2?
dividendo: 9 x 98.765 + 11
divisor: 9
En este caso, 11 no puede ser el resto, porque es mayor que el divisor. Pero si le restamos 9, sumamos 1 al cociente y nos queda 2 de resto.
5. Sin hacer las cuentas, ¿es posible saber si el resultado de cada cálculo se múltiplo de 7?
a. 7 x 12.345 + 5
No es múltiplo de 7 porque a un múltiplo de 7 (7 x 12.345) le suma un 5. Para llegar a otro múltiplo tendría que sumarle un 7 o un múltiplo de 7.
b. 7 x 12.345 + 21 En este caso si es múltiplo de 7 porque a un múltiplo le suma otro múltiplo de 7
c. 7 x 12.345 + 7. ídem anterior.
d. 7 x 12.345 + 9 No es múltiplo de 7 (le sobran 2)
Para revisar lo realizado:
. En cada cálculo del problema 5 que no da como resultado un múltiplo de 7, ¿es posible saber, sin hacer la cuenta, cuál va a ser el resto de dividir por 7 ese resultado?
a. En este caso van a sobrar 5 porque a un múltiplo de 7 se le suman menos de 7
b. Aquí el resto será 0 porque el dividendo es divisbile por 7
c. ídem anterior.
d. Como respondimos, sobran 2.
6. El número 35.064 es múltiplo de 9. Decídi sin hacer la cuenta, cuál es el rsto de dividir por 9 los siguientes números
a. 35.065 Es uno más que 36.064 el resto será 1.
b. 35.964 son 900 más que 35.064, 9 entra una cantidad de veces exactas en 35.064 y también 100 veces exactas en 900, entonces también tendrá resto 0 si se trata de la suma (35.064 +900).
c. 35.062 es dos menos que 35.064 entonces el resto será 7
d. 35.073 es 9 más. El resto será 0.
Para la clase siguiente había que hacer los ejercicios 14 y 15 de la página 14 de tarea.
¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sea mayor que 1.000?
En la fila de los cocientes teníamos los números naturales, en la fila de los dividendos la suma de un múltiplo de 15 + 6.
El múltiplo de 15 más cercano a 1000 es 1005. Si le sumamos 6 obtenemos un dividendo posible para la cuenta. Para hallar el cociente respectivo tenemos que pensar por qué número tenemos que multiplicar a 15 para que nos dé 1005, ese número es 67. Entonces, para que el dividendo sea mayor que 1000, el cociente tiene que ser mayor o igual a 67.
Otra manera es dividir 1.000 por 15 en la calculadora. Nos da 66,6666... El cociente entero próximo es 67.
Luego de revisar la tarea, continuamos con los ejercicios que quedaban pendiente de cálculo y divisibilidad... Ejercicios 4, 5 y 6 de la página 10:
Ejercicio 4:
Primero tenés que decidir y sólo después hacer las cuentas para comprobar.
a. ¿Será cierto que con este dividendo la cuetna tiene resto 3?
dividendo: 9.765 x 9 + 3
divisor: 9
Respuesta:
(9.765 x 9 + 3) es un múltiplo de 9 al que se la ha sumado 3, es decir que si le restamos 3 tendremos un número divisible por 3. 9.765 x 9 : 9 dará resto 0. Si le sumamos 3, el resto al dividirlo por 3 será 3.
b. ¿Y con este otro, tien resto 2?
dividendo: 9 x 98.765 + 11
divisor: 9
En este caso, 11 no puede ser el resto, porque es mayor que el divisor. Pero si le restamos 9, sumamos 1 al cociente y nos queda 2 de resto.
5. Sin hacer las cuentas, ¿es posible saber si el resultado de cada cálculo se múltiplo de 7?
a. 7 x 12.345 + 5
No es múltiplo de 7 porque a un múltiplo de 7 (7 x 12.345) le suma un 5. Para llegar a otro múltiplo tendría que sumarle un 7 o un múltiplo de 7.
b. 7 x 12.345 + 21 En este caso si es múltiplo de 7 porque a un múltiplo le suma otro múltiplo de 7
c. 7 x 12.345 + 7. ídem anterior.
d. 7 x 12.345 + 9 No es múltiplo de 7 (le sobran 2)
Para revisar lo realizado:
. En cada cálculo del problema 5 que no da como resultado un múltiplo de 7, ¿es posible saber, sin hacer la cuenta, cuál va a ser el resto de dividir por 7 ese resultado?
a. En este caso van a sobrar 5 porque a un múltiplo de 7 se le suman menos de 7
b. Aquí el resto será 0 porque el dividendo es divisbile por 7
c. ídem anterior.
d. Como respondimos, sobran 2.
6. El número 35.064 es múltiplo de 9. Decídi sin hacer la cuenta, cuál es el rsto de dividir por 9 los siguientes números
a. 35.065 Es uno más que 36.064 el resto será 1.
b. 35.964 son 900 más que 35.064, 9 entra una cantidad de veces exactas en 35.064 y también 100 veces exactas en 900, entonces también tendrá resto 0 si se trata de la suma (35.064 +900).
c. 35.062 es dos menos que 35.064 entonces el resto será 7
d. 35.073 es 9 más. El resto será 0.
Para la clase siguiente había que hacer los ejercicios 14 y 15 de la página 14 de tarea.
viernes, 11 de junio de 2010
clase 60 - Problemas para pensar la cuenta de dividir
El viernes 11 de junio terminamos de corregir las tareas con los ejercicios que quedaron desde el lunes.
2. Completá la tabla
La fila a yla b ya la habíamos corregido.
a. Para hallar el cociente podemos hacer la división o podemos hallar una cuenta cercan donde el resto sea 0 (cero), variando el dividendo y eso lo podemos hacer restándole el resto al dividendo:
En lugar de 1600 de dividendo y 4 de resto, 1596 de dividendo y 0 de resto.
Ahora debemos hallar simplemente un número natural que multiplicado por 42 dé 1596. Lo podemos hacer dividiendo con la calculadora 1596 : 42
b. En este caso hay que hallar el resto
Se sugirió hacer la cuenta o, como por la cuenta sabíamos que 34 entra 26 veces en 909 pero sobra algo, directamente con calculadora hacer divisor x cociente y restárselo a 909. Es decir para hallar el resto podemos hacer:
resto = dividendo – divisor x cociente
c. En este caso hay que hallar el dividendo
En este caso multiplicamos divisor por cociente y le sumamos el resto.
d. En este caso hay que hallar el divisor
Sabemos que el 5 entra una cantidad de veces 189 pero sobran 4. Entonces entra una cantidad exacta de veces en 189-4, es decir 185. Para hallar la cantidad de veces podemos dividir 185:5 y hallamos el divisor que nos piden.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
Para completar la tabla usamos la “fórmula del dividendo”.
Dividendo = divisor x cociente + resto
Si el cociente era 1: 15 x 1 + 6 = 21
Si el cociente era 2: 15 x 2 + 6 = 36
Si el cociente era 3: 15 x 3 + 6 = 51
Si el cociente era 4: 15 x 4 + 6 = 66
Si el cociente era 5: 15 x 5 + 6 = 81
Si el cociente era 6: 15 x 6 + 6 = 96
Alguien propuso pensar que los dividendos hallados eran todos múltiplos de 15 + 6, es decir de 21.
Pero no es lo mismo 15 x 2 + 6 que (15 + 6) x 2.
Es decir no es lo mismo divisor x cociente + resto que (divisor + resto) x cociente
En realidad los dividendos eran todos múltiplos de 15 a los que se les había sumado 6, o números divisibles por 15 a los que se les había sumado 6
Otros encontraron otra regularidad:
Al sumar 2 en el cociente aumentaba 30 el dividendo.
Al sumar 1 en el cociente aumentaba 15 el dividendo
Para la próxima quedamos en responder las siguientes para esta tabla:
1. ¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sera mayor que 1.000
2. ¿Cuál es el mayor dividendo que querés encontrar?
3. Escribí un "método" que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle valores al cociente
2. Completá la tabla
| dividendo | divisor | cociente | resto |
| 1.600 | 42 | 4 | |
| 909 | 26 | 34 | |
| 15 | 12 | 10 | |
| 189 | 5 | 4 |
La fila a yla b ya la habíamos corregido.
a. Para hallar el cociente podemos hacer la división o podemos hallar una cuenta cercan donde el resto sea 0 (cero), variando el dividendo y eso lo podemos hacer restándole el resto al dividendo:
En lugar de 1600 de dividendo y 4 de resto, 1596 de dividendo y 0 de resto.
Ahora debemos hallar simplemente un número natural que multiplicado por 42 dé 1596. Lo podemos hacer dividiendo con la calculadora 1596 : 42
b. En este caso hay que hallar el resto
Se sugirió hacer la cuenta o, como por la cuenta sabíamos que 34 entra 26 veces en 909 pero sobra algo, directamente con calculadora hacer divisor x cociente y restárselo a 909. Es decir para hallar el resto podemos hacer:
resto = dividendo – divisor x cociente
c. En este caso hay que hallar el dividendo
En este caso multiplicamos divisor por cociente y le sumamos el resto.
d. En este caso hay que hallar el divisor
Sabemos que el 5 entra una cantidad de veces 189 pero sobran 4. Entonces entra una cantidad exacta de veces en 189-4, es decir 185. Para hallar la cantidad de veces podemos dividir 185:5 y hallamos el divisor que nos piden.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
| cociente | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| dividendo |
Para completar la tabla usamos la “fórmula del dividendo”.
Dividendo = divisor x cociente + resto
Si el cociente era 1: 15 x 1 + 6 = 21
Si el cociente era 2: 15 x 2 + 6 = 36
Si el cociente era 3: 15 x 3 + 6 = 51
Si el cociente era 4: 15 x 4 + 6 = 66
Si el cociente era 5: 15 x 5 + 6 = 81
Si el cociente era 6: 15 x 6 + 6 = 96
Alguien propuso pensar que los dividendos hallados eran todos múltiplos de 15 + 6, es decir de 21.
Pero no es lo mismo 15 x 2 + 6 que (15 + 6) x 2.
Es decir no es lo mismo divisor x cociente + resto que (divisor + resto) x cociente
En realidad los dividendos eran todos múltiplos de 15 a los que se les había sumado 6, o números divisibles por 15 a los que se les había sumado 6
Otros encontraron otra regularidad:
Al sumar 2 en el cociente aumentaba 30 el dividendo.
Al sumar 1 en el cociente aumentaba 15 el dividendo
Para la próxima quedamos en responder las siguientes para esta tabla:
1. ¿Cuál podría ser el cociente para que el dividendo sera mayor que 1.000
2. ¿Cuál es el mayor dividendo que querés encontrar?
3. Escribí un "método" que sirva para encontrar dividendos a partir de asignarle valores al cociente
miércoles, 9 de junio de 2010
Clase 59 - Estudiar más sobre la división 1 y 2
La clase de hoy fue breve, es que tuvieron que terminar de copiar un pizarrón que les dejó la profesora de geografía.
Luego nos dio el tiempo para revisar un ejercicio que había quedado pendiente de la clase que tuvimos en la octava del lunes de esta semana.
Tenía dos partes.
En la primera habia que encontrar una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7.
Este ejercicio lo resolvieron fácil aplicando lo que algunos conocen como prueba de la división, y que nos recordó el otro día Joaquín que consiste en obtener el divididento multiplicando cociente por divisor y sumandole el resto
dividendo = divisor x cociente + resto
Si pensamos que esa cuenta sirve para resolver un reparto de caramelos entre niños podemos pensar que:
el divisor indica la cantidad de chicos a los que se repartió
el cociente la cantidad de caramelos que recibió cada uno
y el resto los caramelos que sobraron porque no se pudo seguir dando uno más a cada una.
Para reconstruir la cantidad de caramelos inicial se multiplica la cantidad de chicos (divisor) por la cantidad de caramelos que recibió cada uno (cociente) y luego se le suma los caramelos que quedaron. En este caso:
15 x 3 + 7 = 52. Este ejercicio tenía una sola solución
En el segundo caso teníamos que encontrar una cuenta con divisor 25 y resto 10.
Es decir, teníamos que encontrar un par de números que pudieron funcionar de dividendo y cociente, mientras el divisor fuera 25 y el resto 10.
Se discutió si podía ir cualquier número de cociente. Unos decían que se podía poner cualquier número en el cociente y de ahí obtener el dividendo. Otros decían que el cociente no puede ser cualquier número, que tenía que salir del dividendo y el divisor.
Resultó falsa la segunda opción.
Es posible poner cualquier número natural de cociente. Y luego aplicar la regla de la "prueba de la división" o "regla de Joaquín".
Otro manera posible de resolver es pensar una cuenta en la que el resto sea 0 y el divisor 25. En ese caso en el dividendo iría cualquier múltiplo de 25, y en el cociente el número por el que tenemos que multiplicar a 25 para que nos dé el dividendo. Una vez que tenemos esa cuenta de resto 0 la transformarmos en una de resto 10 sumándole 10 al dividendo.
Al final de la clase repertí una autoevaluación del primer trimestre que debían traer para el viernes.
Luego nos dio el tiempo para revisar un ejercicio que había quedado pendiente de la clase que tuvimos en la octava del lunes de esta semana.
Tenía dos partes.
En la primera habia que encontrar una cuenta de dividir que tenga divisor 15, cociente 3 y resto 7.
Este ejercicio lo resolvieron fácil aplicando lo que algunos conocen como prueba de la división, y que nos recordó el otro día Joaquín que consiste en obtener el divididento multiplicando cociente por divisor y sumandole el resto
dividendo = divisor x cociente + resto
Si pensamos que esa cuenta sirve para resolver un reparto de caramelos entre niños podemos pensar que:
el divisor indica la cantidad de chicos a los que se repartió
el cociente la cantidad de caramelos que recibió cada uno
y el resto los caramelos que sobraron porque no se pudo seguir dando uno más a cada una.
Para reconstruir la cantidad de caramelos inicial se multiplica la cantidad de chicos (divisor) por la cantidad de caramelos que recibió cada uno (cociente) y luego se le suma los caramelos que quedaron. En este caso:
15 x 3 + 7 = 52. Este ejercicio tenía una sola solución
En el segundo caso teníamos que encontrar una cuenta con divisor 25 y resto 10.
Es decir, teníamos que encontrar un par de números que pudieron funcionar de dividendo y cociente, mientras el divisor fuera 25 y el resto 10.
Se discutió si podía ir cualquier número de cociente. Unos decían que se podía poner cualquier número en el cociente y de ahí obtener el dividendo. Otros decían que el cociente no puede ser cualquier número, que tenía que salir del dividendo y el divisor.
Resultó falsa la segunda opción.
Es posible poner cualquier número natural de cociente. Y luego aplicar la regla de la "prueba de la división" o "regla de Joaquín".
Otro manera posible de resolver es pensar una cuenta en la que el resto sea 0 y el divisor 25. En ese caso en el dividendo iría cualquier múltiplo de 25, y en el cociente el número por el que tenemos que multiplicar a 25 para que nos dé el dividendo. Una vez que tenemos esa cuenta de resto 0 la transformarmos en una de resto 10 sumándole 10 al dividendo.
Al final de la clase repertí una autoevaluación del primer trimestre que debían traer para el viernes.
lunes, 7 de junio de 2010
clases 56. 57 y 58. Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 5. 6. Problemas para pensar la cuenta de dividir 1, 2, 3 y 4
El lunes 7 terminamos de corregir los ejercicios 5 y 6 de la página 13.
5c. Todo número es divisor de sí mismo. V (Todo número entra 1 vez exacta en sí mismo) Todo número puede dividirse en forma exacta por sí mismo con resto 0 y cociente 1.
5d. Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6. Algunos dijeron que era cierto porque todo número divisible por 6 es múltiplo de 2 y de 3. Pero que esto sea cierto no quiere decir que si un número es múltiplo de 3, sea divisible por 6. Sólo algunos múltiplos de 3 son divisibles por 6. Si decimos la serie de los múltiplos de 3 (uno sí y uno no). 3 no, 6 sí, 9 no, etc...
Para probar que esto era falso bastaba dar un contraejemplo (es decir un ejemplo de lo contrario).
6 ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
Lo resolvieron haciendo la lista de múltiplos de ambos números:
30-60-90-120-150-180...
45-90-135-180...
El menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez es 180
Luego hicimos problemas que tenían que ver con el análisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. A partir de la siguiente cuenta de dividir, determiná cuál será el resto de cada una de las siguientes cuentas 114 : 5 , 115 : 5 y 116 : 5, pero sin hacerlas.
113 :5 da resto 3 y cociente 22
2. Marcá con una cruz la o las formas correctas de completar esta cuenta
(Se trataba de una cuenta donde el dividendo era 18 y el resto 2)
opciones:
divisor 9, resto 0. Correcto. 18:9 da resto 0 y cociente 2. El 9 entra dos veces exacta en 18.
9 x 12 + 0 = 18
divisor 7 resto 4. Correcto. 18:7 da resto 4 y cociente 2. El 7 entra dos veces en 18 y sobran 4
.7 x 2 + 4 = 18
divisor 5 resto 8. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor.
divisor 8 resto 2. Correcto. 18:8 da resto 2 y cociente 2. El 8 entra dos veces en 16 y sobran 2.
divisor 4 resto 10. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor
3. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
Nos daban una división donde el resto era 4 y el cociente 6.
Establecimos que el divisor debía ser mayor que 4. Es decir 5, 6, 7 ...
Si el divisor es 5, el dividendo será 5 x 6 + 4 = 34
Si el divisor es 6, el dividendo será 6 x 6 + 4 = 40
Si el divisor es 7, el dividendo será 7 x 6 + 4 = 46...
4. Jorge hizo la siguiente cuenta
165 dividido 7 cociente 23 resto 4
A partir de esta cuenta, buscá dos dividendos en los que, al dividir por 7, el resto sea 0.
1. Completá las siguientes divisiones:
divisor 15, cociente 3 y resto 7. ¿Hay una sola? Encontrá todas las que puedas
divisor 25 y resto 10 ídem
2. Completá la tabla
5c. Todo número es divisor de sí mismo. V (Todo número entra 1 vez exacta en sí mismo) Todo número puede dividirse en forma exacta por sí mismo con resto 0 y cociente 1.
5d. Si un número es múltiplo de 3, entonces es divisible por 6. Algunos dijeron que era cierto porque todo número divisible por 6 es múltiplo de 2 y de 3. Pero que esto sea cierto no quiere decir que si un número es múltiplo de 3, sea divisible por 6. Sólo algunos múltiplos de 3 son divisibles por 6. Si decimos la serie de los múltiplos de 3 (uno sí y uno no). 3 no, 6 sí, 9 no, etc...
Para probar que esto era falso bastaba dar un contraejemplo (es decir un ejemplo de lo contrario).
6 ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
Lo resolvieron haciendo la lista de múltiplos de ambos números:
30-60-90-120-150-180...
45-90-135-180...
El menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez es 180
Luego hicimos problemas que tenían que ver con el análisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. A partir de la siguiente cuenta de dividir, determiná cuál será el resto de cada una de las siguientes cuentas 114 : 5 , 115 : 5 y 116 : 5, pero sin hacerlas.
113 :5 da resto 3 y cociente 22
Por ejemplo, si tuvieramos 113 caramelos para repartir entre 5 chicos podríamos darle 22 a cada uno y sobrarían 3
Si se agregara 1 caramelo tendríamos 114 para repartir en ese caso seguirían recibiendo 22 y sobrarían uno más: el resto sería 4
Si agregararmos 2 caramelos tendríamos 115 caramelos y en ese caso, no nos podrían sobrar 5 ya que alcanzaría para darle uno más a cada uno. El resto sería 0 (y el cociente 23).
El resto es siempre menor que el divisor.
2. Marcá con una cruz la o las formas correctas de completar esta cuenta
(Se trataba de una cuenta donde el dividendo era 18 y el resto 2)
opciones:
divisor 9, resto 0. Correcto. 18:9 da resto 0 y cociente 2. El 9 entra dos veces exacta en 18.
9 x 12 + 0 = 18
divisor 7 resto 4. Correcto. 18:7 da resto 4 y cociente 2. El 7 entra dos veces en 18 y sobran 4
.7 x 2 + 4 = 18
divisor 5 resto 8. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor.
divisor 8 resto 2. Correcto. 18:8 da resto 2 y cociente 2. El 8 entra dos veces en 16 y sobran 2.
divisor 4 resto 10. Incorrecto el resto no puede ser mayor que el divisor
3. Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay una única posibilidad?
Nos daban una división donde el resto era 4 y el cociente 6.
Establecimos que el divisor debía ser mayor que 4. Es decir 5, 6, 7 ...
Si el divisor es 5, el dividendo será 5 x 6 + 4 = 34
Si el divisor es 6, el dividendo será 6 x 6 + 4 = 40
Si el divisor es 7, el dividendo será 7 x 6 + 4 = 46...
4. Jorge hizo la siguiente cuenta
165 dividido 7 cociente 23 resto 4
A partir de esta cuenta, buscá dos dividendos en los que, al dividir por 7, el resto sea 0.
Para hallar el dividendo que dé resto 0 podemos restar el resto al dividendo actual y el cociente seguirá igual:
161 dividido 7 cociente 23 resto 0
o podemos sumar al dividendo lo que falta para volver a formar otro 7 o sea 3
168 dividido 7 cociente 24 resto 0
1. Completá las siguientes divisiones:
divisor 15, cociente 3 y resto 7. ¿Hay una sola? Encontrá todas las que puedas
divisor 25 y resto 10 ídem
2. Completá la tabla
| dividendo | divisor | cociente | resto |
| 1.600 | 42 | 4 | |
| 909 | 26 | 34 | |
| 15 | 12 | 10 | |
| 189 | 5 | 4 |
El martes 8 revisamos comenzamos a revisar este segundo ejercicio y en grupo empezamos a trabajar con otro.
3. Completá la tabla con valores posibles de dividendo y cociente para una cuenta en la que el divisor es 15 y el resto es 6.
| cociente | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 |
| dividendo |
viernes, 4 de junio de 2010
Clase 55 - Nümeros primos 4 y 5 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 5
Lo primero que hicimos fue repasar la diferencia entre número primo y número compuesto:
Dijimos los números naturales los podemos dividir en:
1) El número 1: tiene un solo divisor (1)
2) Los números primos: tiene sólo dos divisores. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37... (sólo se tienen a sí mismos y al 1 de divisor.
2) Los números compuestos tienen 3 ó mas divisores: 4 (2x2), 6 (3 x2), 8 (2 x 2 x 2), 9 (3x3), 10 (2 x 5), 12 (2 x 2 x 3), 14 (2 x 7), 15(3 x 5), 16 (2 x 2 x 2 x 2), 18 (2 x 3 x 2), 20 (2 x 2 x 5), 21 (3 x 7), 22 (2 x 11)...
Luego revisamos los ejercicios que teníamos de tarea.
El 5 de la página 12:
"Descomponé el 60 como una multiplicación de sus factores primos. ¿Es posible encontrar otra multiplicación distinto con números primos que dé 60?"
Revisamos los métodos que teníamos para descomponer números en factores primos.
Llegamos a una sola descomposición del 60
60= 2 x 2 x 3 x 5
Les mostré como se podía hacer un gráfico de la descomposición en factores primos para cada número y lo aplicamos a lo que hicimos en el ejercicio 1. En el eje horizonal ponemos la lista de los números primos y en el vertical las veces que se repite en la factorización.
Luego revisamos el ejercicio 5 de la página siguiente.
5. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a. Todos los números pares son compuestos. (F, porque hay un número par y compuesto: el 2)
b. Si un número es múltiplo de 7, entonces es mayor que 7. (Falso porque el 7 es múltiplo de sí mismo ya que 7 x 1 = 7 y el 0 es múltiplo de 7 (lo es de todos los números), ya que 7 x 0 = 0)
La próxima terminamos de revisar los puntos c y d.
Tarea: Ejecicios 6 y 7 de la página 13.
Dijimos los números naturales los podemos dividir en:
1) El número 1: tiene un solo divisor (1)
2) Los números primos: tiene sólo dos divisores. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37... (sólo se tienen a sí mismos y al 1 de divisor.
2) Los números compuestos tienen 3 ó mas divisores: 4 (2x2), 6 (3 x2), 8 (2 x 2 x 2), 9 (3x3), 10 (2 x 5), 12 (2 x 2 x 3), 14 (2 x 7), 15(3 x 5), 16 (2 x 2 x 2 x 2), 18 (2 x 3 x 2), 20 (2 x 2 x 5), 21 (3 x 7), 22 (2 x 11)...
Luego revisamos los ejercicios que teníamos de tarea.
El 5 de la página 12:
"Descomponé el 60 como una multiplicación de sus factores primos. ¿Es posible encontrar otra multiplicación distinto con números primos que dé 60?"
Revisamos los métodos que teníamos para descomponer números en factores primos.
Llegamos a una sola descomposición del 60
60= 2 x 2 x 3 x 5
Les mostré como se podía hacer un gráfico de la descomposición en factores primos para cada número y lo aplicamos a lo que hicimos en el ejercicio 1. En el eje horizonal ponemos la lista de los números primos y en el vertical las veces que se repite en la factorización.
Luego revisamos el ejercicio 5 de la página siguiente.
5. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
a. Todos los números pares son compuestos. (F, porque hay un número par y compuesto: el 2)
b. Si un número es múltiplo de 7, entonces es mayor que 7. (Falso porque el 7 es múltiplo de sí mismo ya que 7 x 1 = 7 y el 0 es múltiplo de 7 (lo es de todos los números), ya que 7 x 0 = 0)
La próxima terminamos de revisar los puntos c y d.
Tarea: Ejecicios 6 y 7 de la página 13.
miércoles, 2 de junio de 2010
clase 54 - Números primos 2 y 3
Hoy retomamos los ejercicios 2 y 3 de la página 12.
El ejercicio 2 pedía hallar los divisores de 18, 24, 26 y 37
Repasamos los dos métodos que usamos para hallar divisores: el primero consistente en encontrar todas las multiplicaciones de dos números que dan el número dado. Por ejemplo para 24:
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6. Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
El otro método es encontrar todas las divisiones donde 24 es dividendo y dan resto 0. Los divisores de esas diviones son los divisores de 24:
24:1
24:2
24:3
24:4
24:6
24:8
24:12
24:24
Luego hicimos el ejercicio 3 buscando números que sólo tuvieran dos divisores, es decir números primos.
En los dos ejercicios anteriores encontramos bastantes.
En el ejercicio 1 los números que no se podía seguir descomponiendo en más factores, como 2, 3, 13. En el ejercicio 2 estaba el número 37.
Luego revisamos el ejercicio 2 para conectarlos con el 1.
En el primer ejercicio teníamos números que descompusimos en factores primos, y en el ejercicio 2 nos pedían encontrar los divisores de esos mismos números. Hay un tercer método para hallar los divisores de un número, en el que se usa la descomposición en factores primos.
Por ejemplo:
18 = 2 x 3 x 3
Primero el 1 es divisor (lo es de todos los números)
Segundo, cada factor es un divisor: 2 y 3
Tercero, los productos entre dos números son divisores: 2x3=6 y 3x3=9
y por último la múltiplicación de tres que es el mismo número: 18
Los mismo con 24
24 = 2 x 2 x 2 x 3
1 es divisor
2 y 3 son divisores
2 x 2 y 2 x 3 son divisores, o sea: 4 y 6
2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 3 son divisores, o sea 8 y 12
y 24 también es divisor.
También hicimos el ejercicio 4
Encontrá todos los números primos que están entre 1 y 25
Unos fueron viendo número por número cuántos divisores tenía. El que tiene 2 es primo. Los que tienen más que dos se llaman compuestos. El 1 no es ni primo ni compuesto.
Otra manera fue escribir los números del 1 al 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
ir sacando del medio los múltiplos de 2 (salvo al 2) porque no son primos tienen a 1 y a sí mismo y además a 2 como divisores
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Luego lo mismo con los múltiplos de 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los múltiplos de 4 ya estaban marcados porque son también múltiplos de 2. Seguimos con los múltiplos de 5 (faltaba el 25).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los de 6 ya estaban marcados porque son múltiplos de 2 y 3. Los de 7 en la serie, también, ya que eran 7 x 2 y 7 x 3...
Conclusión: los números primos entre 1 y 25 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Para el viernes va de tarea el ejercicio 5 de la página 12 y el ejercicio 5 de la página 13
El ejercicio 2 pedía hallar los divisores de 18, 24, 26 y 37
Repasamos los dos métodos que usamos para hallar divisores: el primero consistente en encontrar todas las multiplicaciones de dos números que dan el número dado. Por ejemplo para 24:
1 x 24, 2 x 12, 3 x 8, 4 x 6. Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
El otro método es encontrar todas las divisiones donde 24 es dividendo y dan resto 0. Los divisores de esas diviones son los divisores de 24:
24:1
24:2
24:3
24:4
24:6
24:8
24:12
24:24
Luego hicimos el ejercicio 3 buscando números que sólo tuvieran dos divisores, es decir números primos.
En los dos ejercicios anteriores encontramos bastantes.
En el ejercicio 1 los números que no se podía seguir descomponiendo en más factores, como 2, 3, 13. En el ejercicio 2 estaba el número 37.
Luego revisamos el ejercicio 2 para conectarlos con el 1.
En el primer ejercicio teníamos números que descompusimos en factores primos, y en el ejercicio 2 nos pedían encontrar los divisores de esos mismos números. Hay un tercer método para hallar los divisores de un número, en el que se usa la descomposición en factores primos.
Por ejemplo:
18 = 2 x 3 x 3
Primero el 1 es divisor (lo es de todos los números)
Segundo, cada factor es un divisor: 2 y 3
Tercero, los productos entre dos números son divisores: 2x3=6 y 3x3=9
y por último la múltiplicación de tres que es el mismo número: 18
Los mismo con 24
24 = 2 x 2 x 2 x 3
1 es divisor
2 y 3 son divisores
2 x 2 y 2 x 3 son divisores, o sea: 4 y 6
2 x 2 x 2 y 2 x 2 x 3 son divisores, o sea 8 y 12
y 24 también es divisor.
También hicimos el ejercicio 4
Encontrá todos los números primos que están entre 1 y 25
Unos fueron viendo número por número cuántos divisores tenía. El que tiene 2 es primo. Los que tienen más que dos se llaman compuestos. El 1 no es ni primo ni compuesto.
Otra manera fue escribir los números del 1 al 25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
ir sacando del medio los múltiplos de 2 (salvo al 2) porque no son primos tienen a 1 y a sí mismo y además a 2 como divisores
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Luego lo mismo con los múltiplos de 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los múltiplos de 4 ya estaban marcados porque son también múltiplos de 2. Seguimos con los múltiplos de 5 (faltaba el 25).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Los de 6 ya estaban marcados porque son múltiplos de 2 y 3. Los de 7 en la serie, también, ya que eran 7 x 2 y 7 x 3...
Conclusión: los números primos entre 1 y 25 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Para el viernes va de tarea el ejercicio 5 de la página 12 y el ejercicio 5 de la página 13
martes, 1 de junio de 2010
Clase 53 - Números primos 1, 2 y 3
Números primos
Hoy trabajamos con los problemas 1, 2 y 3 de la página 12. En verdad no todos terminaron los tres, quedamos en revisarlos mañana.
1. Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad de factores, que den :
a. 18
b. 24
c. 26
Con 18 empezaron por cuentas que daban 18
18 x 1
9 x 2
6 x 3
y siguieron descomponiendo los que podían descomponer...
9 x 2 = 3 x 3 x 2 (y ya no se puede seguir a menos que agreguemos 1)
ó
6 x 3 = 2 x 3 x 3
Lo mismo con el 24
2 x 12 ó 3 x 8 ó 4 x 6
2 x 2 x 6 ó 3 x 2 x 4 ó 2 x 2 x 6
y finalmente llegan todos a 2 x 2 x 2 x 3
Con 26 solo se llega a un multiplicación de dos factores: 2 x 13 (el 13 no se puede seguir descomponiendo).
Los números que no se pueden seguir descomponiendo (excepto el 1) se llaman números primos en nuestro ejercicio son el 2, el 3, el 13.
2. Encontrá todos los divisores de:
a. 18
b. 24
c. 26
d.37
Mostré en el pizarrón dos maneras posibles de buscar todos los divisores de un número.
y verificando con todos los números del 1 al 18 sin son divisores de 18 (viendo que la división da resto 0
18:1= 18 1 es divisor de 18
18:2= 9 9 es divisor de 18
18:3=6 3 es divisor de 18
18:4 da resto 2 y cociente 4
18:5 da resto 3 y cociente 3
18:6= 3 6 es divisor de 18
18:7 da resto 4 y cociente 2
18:8 da resto 2 y cociente 2
18:9=2 9 es divisor de 18
... 9 entra dos veces en 2. Así que falta el que entra 1 vez exacta en 18 que es el mismo 18
18 es divisor de sí mismo
La otra forma es ver todas las divisiones posibles que den 18. Todos los números naturales que multiplicados unos con otros den 18 son factores o divisores de 18.
1 x 18 = 18
2 x 9 = 18
3 x 6 = 18
1, 2, 3, 6, 8 y 18 son factores de 18.
Quedó de tarea el ejercicio 3.
Encontrá 3 números que tengan sólo dos divisores.
Aclaré que esos números que tienen sólo dos divisores son los números primos.
Hoy trabajamos con los problemas 1, 2 y 3 de la página 12. En verdad no todos terminaron los tres, quedamos en revisarlos mañana.
1. Encontrá multiplicaciones, con la mayor cantidad de factores, que den :
a. 18
b. 24
c. 26
Con 18 empezaron por cuentas que daban 18
18 x 1
9 x 2
6 x 3
y siguieron descomponiendo los que podían descomponer...
9 x 2 = 3 x 3 x 2 (y ya no se puede seguir a menos que agreguemos 1)
ó
6 x 3 = 2 x 3 x 3
Lo mismo con el 24
2 x 12 ó 3 x 8 ó 4 x 6
2 x 2 x 6 ó 3 x 2 x 4 ó 2 x 2 x 6
y finalmente llegan todos a 2 x 2 x 2 x 3
Con 26 solo se llega a un multiplicación de dos factores: 2 x 13 (el 13 no se puede seguir descomponiendo).
Los números que no se pueden seguir descomponiendo (excepto el 1) se llaman números primos en nuestro ejercicio son el 2, el 3, el 13.
2. Encontrá todos los divisores de:
a. 18
b. 24
c. 26
d.37
Mostré en el pizarrón dos maneras posibles de buscar todos los divisores de un número.
y verificando con todos los números del 1 al 18 sin son divisores de 18 (viendo que la división da resto 0
18:1= 18 1 es divisor de 18
18:2= 9 9 es divisor de 18
18:3=6 3 es divisor de 18
18:4 da resto 2 y cociente 4
18:5 da resto 3 y cociente 3
18:6= 3 6 es divisor de 18
18:7 da resto 4 y cociente 2
18:8 da resto 2 y cociente 2
18:9=2 9 es divisor de 18
... 9 entra dos veces en 2. Así que falta el que entra 1 vez exacta en 18 que es el mismo 18
18 es divisor de sí mismo
La otra forma es ver todas las divisiones posibles que den 18. Todos los números naturales que multiplicados unos con otros den 18 son factores o divisores de 18.
1 x 18 = 18
2 x 9 = 18
3 x 6 = 18
1, 2, 3, 6, 8 y 18 son factores de 18.
Quedó de tarea el ejercicio 3.
Encontrá 3 números que tengan sólo dos divisores.
Aclaré que esos números que tienen sólo dos divisores son los números primos.
lunes, 31 de mayo de 2010
clases 51 y 52 - Problemas con múltiplos y divisores 9 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 2
Se trabajaron los siguientes problemas: el 8 de la página 9 y el 2 de la página 13. Las cuestiones matemáticas discutidas tuvieron que ver con: divisores, divisores comúnes y divisor común mayor.
Los problemas 3 y 4 de la página 13 quedaron de tarea para mañana.
Problema 8 (pág. 9)
Una pared rectangular de 12 m por 9 m se va a cubrir con placas cuadradas de telgopor, lo más grandes posibles, sin romper ninguna. ¿Cuánto medirá el lado de cada placa?
Lo que tuvimos que hacer fue buscar los números que entraran una cantidad exacta de veces en 12 y en 9, es decir: un número que divida a 12 y 9 en forma exacta (resto = 0).
Al número que divide a otro en forma exacta lo llamamos divisor. Por ejemplo 2 es divisor de 6 porque 6 dividido 2 da resto 0. 6 es divisible por 2 (o múltiplo de 2).
Lo que teníamos que encontrar en el problema era el mayor de los divisores comunes. Es decir el número más grande que sea divisor tanto de 9 como de 12.
Para buscar los divisores de 12 podemos buscar los números que multiplicados por otro dan 12:
12 x 1 = 12
6 x 2 = 12
4 x 3 = 12
3 x 4 = 12
2 x 6 = 12
1 x 12 = 12
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 5.
9 x 1 = 9
3 x 3 = 9
1 x 9 = 9
Los divisores de 9 son 1, 3 y 9.
Los divisores comunes de 9 y 12 son 1 y 3.
El mayor de los divisores comunes, o divisor común mayor es 3
d. c. m. (9, 12) = 3
Respuesta: Los lados de cada placan miden 3m.
Problema 2 (pág. 13):
En un campamento hay 28 chicos y 36 chicos. Para jugar deben repartirse en equipos que tengan igual número de integrantes. Los equipos no deben ser mixtos ni nadie quedarse sin jugar. ¿Cuál es el mayor número de integrantes que puede tener cada equipo?
En este caso también teníamos que encontra el divisor común mayor de dos números.
Para buscar los divisores también podemos ir viendo que números dividen en forma exacta al número cuyos divisores buscamos:
Divisores de 28:
28:1=28
28:2=14
28:3 no es división exacta
28:4=7
28:5 no es división exacta
28:6 no es división exacta
28:7=4
28 divido ningún número natural da 3 de cociente exacto.
28: 14=2
28:28=1
Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
Divisores de 36
36:1=36
36:2 = 18
36:3=12
36:4=9
36:5 no da exacto
36:6=6
36 dividido por ningún número da 5 de cociente exacto
36:9=4
36:12=3
36:18=2
36:36=1
Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Los divisores comunes de 28 y 36 son 1, 2 y 4. El d.c.m. (28, 36) = 4
Rta: El mayor número de integrantes que puede tener cada equipo es 4.
Los problemas 3 y 4 de la página 13 quedaron de tarea para mañana.
Problema 8 (pág. 9)
Una pared rectangular de 12 m por 9 m se va a cubrir con placas cuadradas de telgopor, lo más grandes posibles, sin romper ninguna. ¿Cuánto medirá el lado de cada placa?
Lo que tuvimos que hacer fue buscar los números que entraran una cantidad exacta de veces en 12 y en 9, es decir: un número que divida a 12 y 9 en forma exacta (resto = 0).
Al número que divide a otro en forma exacta lo llamamos divisor. Por ejemplo 2 es divisor de 6 porque 6 dividido 2 da resto 0. 6 es divisible por 2 (o múltiplo de 2).
Lo que teníamos que encontrar en el problema era el mayor de los divisores comunes. Es decir el número más grande que sea divisor tanto de 9 como de 12.
Para buscar los divisores de 12 podemos buscar los números que multiplicados por otro dan 12:
12 x 1 = 12
6 x 2 = 12
4 x 3 = 12
3 x 4 = 12
2 x 6 = 12
1 x 12 = 12
Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 5.
9 x 1 = 9
3 x 3 = 9
1 x 9 = 9
Los divisores de 9 son 1, 3 y 9.
Los divisores comunes de 9 y 12 son 1 y 3.
El mayor de los divisores comunes, o divisor común mayor es 3
d. c. m. (9, 12) = 3
Respuesta: Los lados de cada placan miden 3m.
Problema 2 (pág. 13):
En un campamento hay 28 chicos y 36 chicos. Para jugar deben repartirse en equipos que tengan igual número de integrantes. Los equipos no deben ser mixtos ni nadie quedarse sin jugar. ¿Cuál es el mayor número de integrantes que puede tener cada equipo?
En este caso también teníamos que encontra el divisor común mayor de dos números.
Para buscar los divisores también podemos ir viendo que números dividen en forma exacta al número cuyos divisores buscamos:
Divisores de 28:
28:1=28
28:2=14
28:3 no es división exacta
28:4=7
28:5 no es división exacta
28:6 no es división exacta
28:7=4
28 divido ningún número natural da 3 de cociente exacto.
28: 14=2
28:28=1
Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28.
Divisores de 36
36:1=36
36:2 = 18
36:3=12
36:4=9
36:5 no da exacto
36:6=6
36 dividido por ningún número da 5 de cociente exacto
36:9=4
36:12=3
36:18=2
36:36=1
Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.
Los divisores comunes de 28 y 36 son 1, 2 y 4. El d.c.m. (28, 36) = 4
Rta: El mayor número de integrantes que puede tener cada equipo es 4.
viernes, 28 de mayo de 2010
clase 50 - Cálculos y divisibilidad - 3
Hoy trabajamos con el problema 3 de la página 10
(luego de repasar los problemas 1 y 2)
Decidí sin hacer ninguna cuenta, si 35 x 36 es múltiplo de:
a. 36 b.9 c. 8 d. 14 e.11
a. 36 SÍ, porque el producto de 35 y 36 es múltiplo de 35 y de 36 (por la def. de multiplo)
b. 9 Sí, porque 35 x 36 = 35 x 4 x 9
c. 8 NO, no puede haber un 8 oculto en 35 x 36 ya que 36 es 4 x 9, debería haber un 2 en 35 y es imposible porque es impar
d. 14 Sí. En este caso si seguimos descomponiendo 35 x 36 = 5 x 7 x 4 x 9 =
= 5 x 7 x 2 x 2 x 9
Así que 35 x 36 = 5 x 14 x 2 x 9
e. 11. Si llegamos la descomposición lo más lejos llegamos a 5 x 7 x 2 x 2 x 3 x 3
No llegamos a un 11 ni a dos factores que multiplicados entre sí den 11, es imposible de llegar a ese resultado.
(luego de repasar los problemas 1 y 2)
Decidí sin hacer ninguna cuenta, si 35 x 36 es múltiplo de:
a. 36 b.9 c. 8 d. 14 e.11
a. 36 SÍ, porque el producto de 35 y 36 es múltiplo de 35 y de 36 (por la def. de multiplo)
b. 9 Sí, porque 35 x 36 = 35 x 4 x 9
c. 8 NO, no puede haber un 8 oculto en 35 x 36 ya que 36 es 4 x 9, debería haber un 2 en 35 y es imposible porque es impar
d. 14 Sí. En este caso si seguimos descomponiendo 35 x 36 = 5 x 7 x 4 x 9 =
= 5 x 7 x 2 x 2 x 9
Así que 35 x 36 = 5 x 14 x 2 x 9
e. 11. Si llegamos la descomposición lo más lejos llegamos a 5 x 7 x 2 x 2 x 3 x 3
No llegamos a un 11 ni a dos factores que multiplicados entre sí den 11, es imposible de llegar a ese resultado.
jueves, 27 de mayo de 2010
Clases 47, 48 y 49. Aprender a estudiar para una prueba. Prueba
El viernes 21 tuvimos dos clases en las que repasamos para la prueba. Nos centramos en comparar los problemas trabajando y en ver qué tenían de común.
El miércoles 26 hicimos la prueba
El miércoles 26 hicimos la prueba
miércoles, 19 de mayo de 2010
Clase 46 - Aprender a estudiar para una prueba
Hoy seguimos haciendo el machete por grupos. La idea es traerlo bien detallado para la prueba.
Además como preparación para la prueba hay que revisar los problemas 1 a 7 que hicimos sobre múltiplos y divisibilidad. Hay que completar la carpeta para que haya por lo menos un modo de resolver cada uno de los problemas que cada uno entienda.
Aclaramos la diferencia entre múltiplo y divisor.
Como 3 x 5 = 15, 15 es múltiplo de 3 y es múltiplo de 5. Pero no se da la inversa, no es cierto que 3 y 5 sean múltiplos de 15.
3 y 5 son divisores de 15, porque, como 3 x 5 = 15, entonces 15:3 = 5 y da resto 0.
15 es divisible por 3 y por 5.
Además como preparación para la prueba hay que revisar los problemas 1 a 7 que hicimos sobre múltiplos y divisibilidad. Hay que completar la carpeta para que haya por lo menos un modo de resolver cada uno de los problemas que cada uno entienda.
Aclaramos la diferencia entre múltiplo y divisor.
Como 3 x 5 = 15, 15 es múltiplo de 3 y es múltiplo de 5. Pero no se da la inversa, no es cierto que 3 y 5 sean múltiplos de 15.
3 y 5 son divisores de 15, porque, como 3 x 5 = 15, entonces 15:3 = 5 y da resto 0.
15 es divisible por 3 y por 5.
martes, 18 de mayo de 2010
Clase 45 - Aprender a estudiar para una prueba
Hoy trabajamos en grupos de 4 haciendo un machete bien completo para la prueba.
En ellos estamos incluyendo las definiciones, las aclaraciones necesarias para evitar errores y carteles de precaución.
Hicimos un listado de temas con conceptos para definir:
Números naturales.
Múltiplos.
Divisible.
Múltiplos comunes.
Números que al dividirlos por otro no dan resto O.
No solo se trata de definir sino de dar pista para reconocer y para producir. Por ejemplo, no sólo definir "múltiplo", sino reglas para reconocer si un número es múltiplo de otro, o para construir uno si me lo piden.
No alcanzó el tiempo. Continuaremos mañana. La prueba será la otra clase.
En ellos estamos incluyendo las definiciones, las aclaraciones necesarias para evitar errores y carteles de precaución.
Hicimos un listado de temas con conceptos para definir:
Números naturales.
Múltiplos.
Divisible.
Múltiplos comunes.
Números que al dividirlos por otro no dan resto O.
No solo se trata de definir sino de dar pista para reconocer y para producir. Por ejemplo, no sólo definir "múltiplo", sino reglas para reconocer si un número es múltiplo de otro, o para construir uno si me lo piden.
No alcanzó el tiempo. Continuaremos mañana. La prueba será la otra clase.
lunes, 17 de mayo de 2010
Clases 43 y 44 - Problemas con múltiplos y divisores- 7, Cálculos y divisibilidad 1 y 2
Hoy seguimos trabajando "Problemas con múltiplos y divisores". En este caso el problema 7 de la página 9:
Tengo una cantidad de caramelos. Si los agrupo de a 3, me sobran 2; de a 4, me sobra 1 y de a 5, no me sobra ninguno. ¿Cuántos caramelos puede ser que tenga?
Para eso hicimos una lista de los múltiplos de 5 (cantidades que se pueden dividir en grupos de 5 sin que sobre nada) y de entre esos nos fijamos cuáles al dividirlos por 3 daban resto 2 y al dividirlos por 4 resto 1).
El resultado fue: "Hay cinco caramelos."
También hicimos los problemas 1 y 2 de "Cálculos y divisibilidad" (pág. 10):
1. La siguiente multiplicación puede pensarse como un producto entre números de una cifra:
12 x 10 = 3 x 4 x 5 x 2
¿Cómo habrá que escribir estas multiplicaciones utilizando solo números de una cifra?
a. 35 x 21
b. 24 x 15
c. 45 x 12
Descompusieron cada número por separado y reemplazaron la descomposición por el número:
a. 35 x 21 = 5 x 7 x 3 x 7
b. 24 x 15 = 3 x 8 x 3 x 5 = 4 x 6 x 3 x 5 = 3 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5
c. 45 x 12 = 5 x 9 x 3 x 4 = 5 x 3 x 3 x x 4
2 La multiplicación 15 x 24 da 360. Sin hacer cuentas, escribí una multiplicación de núemero de una cifra que dé el mismo resultado.
Pensaron que 360 viene de 36 x 10 y como 36 es 6 x 6, entonces 360 es 6 x 6 x 10, o sea: 6 x 6 x 5 x 2.
Otros descompusieron el 15 y el 24:
3 x 5 x 3 x 8... y otras descomposiciones como aparecen en el ejercicio anterior.
Tengo una cantidad de caramelos. Si los agrupo de a 3, me sobran 2; de a 4, me sobra 1 y de a 5, no me sobra ninguno. ¿Cuántos caramelos puede ser que tenga?
Para eso hicimos una lista de los múltiplos de 5 (cantidades que se pueden dividir en grupos de 5 sin que sobre nada) y de entre esos nos fijamos cuáles al dividirlos por 3 daban resto 2 y al dividirlos por 4 resto 1).
El resultado fue: "Hay cinco caramelos."
También hicimos los problemas 1 y 2 de "Cálculos y divisibilidad" (pág. 10):
1. La siguiente multiplicación puede pensarse como un producto entre números de una cifra:
12 x 10 = 3 x 4 x 5 x 2
¿Cómo habrá que escribir estas multiplicaciones utilizando solo números de una cifra?
a. 35 x 21
b. 24 x 15
c. 45 x 12
Descompusieron cada número por separado y reemplazaron la descomposición por el número:
a. 35 x 21 = 5 x 7 x 3 x 7
b. 24 x 15 = 3 x 8 x 3 x 5 = 4 x 6 x 3 x 5 = 3 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5
c. 45 x 12 = 5 x 9 x 3 x 4 = 5 x 3 x 3 x x 4
2 La multiplicación 15 x 24 da 360. Sin hacer cuentas, escribí una multiplicación de núemero de una cifra que dé el mismo resultado.
Pensaron que 360 viene de 36 x 10 y como 36 es 6 x 6, entonces 360 es 6 x 6 x 10, o sea: 6 x 6 x 5 x 2.
Otros descompusieron el 15 y el 24:
3 x 5 x 3 x 8... y otras descomposiciones como aparecen en el ejercicio anterior.
Clases 41 y 42 - Para estudiar los primeros problemas del capítulo I - 1 y 6 - Criterios de divisibilidad
No estuve en la escuela del martes al viernes de la semana pasada. Tuvieron clase con Santiago el martes y el miércoles.
Trabajaron:
El problema 1 de la página 13:
1. Tres autitos giran en una pista, siempre a la misma velocidad. Todos parten al mismo tiempo del mismo lugar. Cuando el primer autito dio 8 vueltas, el segundo dio 6 y el tercero, 10. ¿Después de cuántas vueltas volverán a encontrarse?
El problema 6 de la página 13:
6. ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
También estuvieron trabajando criterios de divisibilidad.
Los criterios de divisibilidad permiten determinar si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la cuenta de dividir.
Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es un número par.
Un número es divisible por 3 cuando al sumar sus cifras obtengo un múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.
Trabajaron:
El problema 1 de la página 13:
1. Tres autitos giran en una pista, siempre a la misma velocidad. Todos parten al mismo tiempo del mismo lugar. Cuando el primer autito dio 8 vueltas, el segundo dio 6 y el tercero, 10. ¿Después de cuántas vueltas volverán a encontrarse?
El problema 6 de la página 13:
6. ¿Cuál es el menor número de tres cifras divisible por 30 y 45 a la vez?
También estuvieron trabajando criterios de divisibilidad.
Los criterios de divisibilidad permiten determinar si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la cuenta de dividir.
Un número es divisible por 2 cuando su última cifra es un número par.
Un número es divisible por 3 cuando al sumar sus cifras obtengo un múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.
lunes, 10 de mayo de 2010
Clase 40 - Problemas con múltiplos y divisores - 6
En la quinta hora seguimos trabajando con el problema 6 (lo leímos):
Tengo cierta cantidad de monedas. Si las coloco en pilas de a 3 ó de a 4, o bien de 5, siempre me sobra 1. ¿Qué cantidad de monedas puedo tener? ¿Hay una única solución?
En este caso hicimos la lista de números que dan resto 1 divididos por 3, 4 y por 5
Si los dividis por 3 dan resto 1:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
(es decir hicieron 3 x 1 + 1, 3 x 2 + 1, 3 x 3 + 1, 3 x 4 + 1... )
Si los dividis por 4 dan resto 1:
5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41
(es decir hicieron 4 x 1 + 1, 4 x 2 + 1, 4 x 3 + 1, 4 x 4 + 1... )
Si los dividis por 5 dan resto 1
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51
(es decir hicieron 5 x 1 + 1, 5 x 2 + 1, 5 x 3 + 1, 5 x 4 + 1... )
Haciendo los diez primeros de cada lista no se encuentra uno que aparezca en los tres. Sólo algunos que aparecen en dos al mismo tiempo. Hay que pasarse de 3 x 10 + 1, 4 x 10 + 1 y 5 x 10 + 1
Hay más múltiplos, siguen infinitamente...
Si los dividis por 3 dan resto 1:
34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64
Si los dividis por 4 dan resto 1:
45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85
Si los dividis por 5 dan resto 1
56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106
El 61 aparece en las tres listas... ¿Hay otro que aparezca en las tres? No llegamos a discutirlo
Tengo cierta cantidad de monedas. Si las coloco en pilas de a 3 ó de a 4, o bien de 5, siempre me sobra 1. ¿Qué cantidad de monedas puedo tener? ¿Hay una única solución?
En este caso hicimos la lista de números que dan resto 1 divididos por 3, 4 y por 5
Si los dividis por 3 dan resto 1:
4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31
(es decir hicieron 3 x 1 + 1, 3 x 2 + 1, 3 x 3 + 1, 3 x 4 + 1... )
Si los dividis por 4 dan resto 1:
5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41
(es decir hicieron 4 x 1 + 1, 4 x 2 + 1, 4 x 3 + 1, 4 x 4 + 1... )
Si los dividis por 5 dan resto 1
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51
(es decir hicieron 5 x 1 + 1, 5 x 2 + 1, 5 x 3 + 1, 5 x 4 + 1... )
Haciendo los diez primeros de cada lista no se encuentra uno que aparezca en los tres. Sólo algunos que aparecen en dos al mismo tiempo. Hay que pasarse de 3 x 10 + 1, 4 x 10 + 1 y 5 x 10 + 1
Hay más múltiplos, siguen infinitamente...
Si los dividis por 3 dan resto 1:
34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64
Si los dividis por 4 dan resto 1:
45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85
Si los dividis por 5 dan resto 1
56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106
El 61 aparece en las tres listas... ¿Hay otro que aparezca en las tres? No llegamos a discutirlo
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